174

ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА, ГРУППЫ, КОЛЬЦА И ПОЛЯ

следует поэтому, что М содержит С, и в силу минимальности Г

М Это значит, что любое рациональное число равно частному

целых чисел.

Теорема 2. (Ср. S 20, теорема 2.) Все яинияа љные поля,

содержащие коНцо С целых чисел, изояорфны, т. е. поле рацио-

наяьных чисел единственно до изоморфизма.

Доказа тель ство. Пусть Г1 и Г, — два таких поля. по пре-

дыдущей теореме любой элемент Г 1 и Г, равен частному целых

чисел. Строим отображение f поля на так: если ст ( Го

а

в Го где а и Ь— целые числа и с

в Г 2, то положим

f(cD— 2

—с . Ввиду полной аналогии дальнейших рассуждений с дока-

зательством теоремы 2 из S 20 ограничимся лишь указанием, что

взаимная однозначность этого отображения следует из свойства

а). Далее, из свойства б) следует:

f(C1 Щ) (с1) +f(d1),

и из в) следует

для любых и из Г, что и доказывает изоморфизм полей Г, и Г2.

Теорема З. (Ср. S 20, теорема З.) Любое поле Р, содертса-

щее кольцо целых чисел С, содержит и поле рациональных чисел.

Дока з ат ель ств о. Пересечение всех подполей поля Р, содер-

жащих С, будет опять подполем (5 8, теорема б), содержащим С

и при этом минимальным, так как оно входит в любое подполе,

содержащее С. Согласно определению 1 это подполе • будет полем

рациональных чисел.

Переходим к доказательству существования поля рациональных

чисел. Как и в случае кольца целых чисел, это доказательство

проводится путём построения примера (интерпретации) поля, удо-

влетворяющего определению 1.

Конструкция одного из изоморфных полей рациональных чисел

подсказывается теоремой 1. Ведь если Г— поле рациональных чисел,

то элементами Г будут частные целых чисел. Правила сравнения

и операции сложения и умножения для этих частных задаются

формулами (1).

За исходный элемент построения поля рациональных чисел при-

нимаем опять пару (а, Ь) целых чисел, взятых в данном порядке,

причем второе число пары Ь отлично от нуля. Пусть М —множе-

ство всех таких пар. Определяем отношение эквивалентности, сло-

жение и умножение пар так, чтобы им соответствовали равенства,

сложения и умножения частных чисел этих пар в искомом поле.

Именно, согласно (1) полагаем

(2)