158

ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА, ГРУППЫ, кольца И ПОЛЯ

причём их смысл для элементов А, рассматриваемых уже как эле-

менты В, должен совпадать с тем, какой они имели в А до расы

ширения.

З) В В должна быть выполнима операция, которая в А была

невыполнима или не всегда выполнима.

Это требование служит основной целью, для достижения кото-

рой строится расширение. Разберём его на примерах. Для натураль-

ных чисел не всегда выполнимо вычитание. В области целых чисел

оно всегда выполнимо. Для целых чисел не всегда выполнимо деле-

ние- Для рациональных чисел оно выполнимо всегда (кроме деления

на 0, что вообще невозможно). Для рациональных чисел не всегда

выполнима операция перехода к пределу. для действительных чисел

она всегда выполнима. Для действительных чисел не всегда выпол-

нима операция извлечения корня. Для комплексных чисел она уже

всегда выполнима.

Наконец, требования логической завершённости диктуют ещё

одно условие:

4) Расширение В должно быть минимальным из всех расшире-

ний данного А, обладающих свойствами 1) — З), и определяться

данным А однозначно с точностью до изоморфи.зма.

Так, мы расширяем множество натуральных чисел до целых, а

не сразу до действительных или комплексных.

Целые числа подразделяются на положительные (или натураль-

ные), отрицательные и число 0. Идея отрицательного числа (ВСЕ

равно целого, рационального или вообще действительного) связана

с измерением величины, имеющей два противоположных смысла.

Таковы, например, длины отрезков, откладываемых на прямой

направо или налево от данной точки, показания термометра вверх

и вниз от точки 0 и т. д. Тогда уславливаются величины одного

смысла или направления измерять при помощи обычных чисел, назы-

ваемых теперь положительными, а величины другого, противополож-

ного смысла теми же числами, но снабжёнными особым знаком «—»

для отличия их от чисел, служащих для выражения величин первого

смысла. Затем формально вводится число 0, отделяющее положи-

тельные числа от отрицательных. Не останавливаясь на деталях

такого введения «относительных» чисел, заметим, что это построение

наиболее естественно, так как связано с их возникновением и

может быть проведено строго формально. Так, для построения

целых «относительных» чисел можно формально натуральным числам

поставить во взаимно однозначное соответствие новые

. и ввести ещё один объект 0. Затем определить

объекты а, Ь, .

сумму, произведение и отношение «больше» по известным школь-

ным правилам и доказать (пу:тьм проверки всех случаев) справед-

ливость всех законов действий и порядка.

Руководствуясь, однако, единство.м идеи, мы примем другое

построение. Дело в том, что, желая при расширении сделать вы-