162
ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА, группы, КОЛЬЦА И ПОЛЯ
, с, не зависит от выбора чисел а и Ь.
Тогда положим f(C1)
В самом деле, если также с: то a—b==c—d и по (1)
следовательно, и в С2 также Если
c1 # Щ, то по (1) также f(C1) Любой элемент с, (С] равен
разности натуральных чисел и то же верно для С.. Итак, f— вза-
имно однозначное отображение Ся на Из б), г) следует, что
для любых с] , из С1, т. е. f— изоморфизм колец Ст и С2 (S 9,
определение 2). Рассмотрим, например, первое из этих равенств. Если
в С! имеем: d1 то в С, будет:
откуда
f(C1) (Щ) —
но в С.,1
т. е. элементы -l-dl и f(C1) +f(d1) С, равны разности одних
и тех же натуральных чисел и b—l-d.
Это следует из определения f и, таким образом,
f(C1 -1- -1-f(d1)•
Аналогично доказывается и второе соотношение. Теорема доказана.
За меча ни е. Изоморфное отображение f обладает ещё тем
свойством, что на множестве N оно является тождественным, т. е.
при этом отображении СЛ на С, каждое натуральное число отобра-
жается само на себя. В самом деле, при ст в Сл и с, а Ь
в С, элементы c1 и с, тогда и только тогда будут сами натураль-
ными числами, когда a>b. При этом ср
Т е о р е ма З. J11060e кольцо R, содержа!цее яно,жество нату-
ральных чисел N, содержит и кольцо целых чисел.
Дока за тель ств о. Пересечение всех подколец кольца R,
содержащих N, есть опять подкольпо (S 8, теорема б), содержа-
щее N, и при этом минимальное, так как оно входит в любое под-
кольцо, содержащее N. Согласно определению 1 это подкольцо
будет кольцом целых чисел.
Мы еще пока не доказали существования кольца целых чисел,
так как не построили ни одного примера (ни одной интерпретации)
этого понятия. Перейдём теперь к построению такого примера.
Конструкция одного из изоморфных колец целых чисел под-
сказывается теоремой 1. Если С— кольцо целых чисел, то элемен-
тами С будут разности натуральных чисел. Можно было бы за
элементы искомого кольца принять самые символы этих разностей
а — Ь, но, во-первых, два таких символа, различных между собой,
должны были бы считаться при некоторых условиях согласно (1)