160

ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА, ГРУППЫ, КОЛЬЦА И ПОЛЯ

Обратно, для любого разбиения янотсества Ла на непересека-

ющиеся подмножества лотсно так определшпь отношения эквињ

валентности, что Данное разбиение М будет разбиениея на

классы эквивалентных элементов.

Д о каза те ль ст в о. а) Пусть дано отношение эквивалентности.

Для каждого аб М обозначим через Ма множество всех элементов

х, для которых Из 1) следует, что ае Ма, т. е. любой

элемент множества М принадлежит некоторому из этих подмно-

жеств. Пусть Ь€Ма и се Ма. Тогда Ь— а, сеча; по 2) также а ем с

и по З) с. Следовательно, два элемента из Ма эквивалентны.

Если а о.ЈЬ, то Ма В самом деле, если Ма, то

и по З) сем Ь, т. е. ск Мь. Если же семь, то со— Ь и arvb•, по

2) Ь см а и по З) с Ем а, т. е. с€Л4 . Отсюда также имеем: если

Ь€Ма, то Ма, т. е. все элементы множества Ма равноправны

при определении этого множества. Если множества Ма и Мь имеют

общий элемент с, то Мс , откуда Таким

образом, два различных множества не могут иметь общих или

эквивалентных элементов. Элементы различных множеств неэкви-

валентны.

б) Пусть дано разбиение множества М на непересекающиеся мно-

жества. Определим отношение эквивалентности элементов М так:

а гм Ь, если а и Ь принадлежат одному и тому же множеству дан-

ного разбиения. Очевидно, что тогда разбиение на классы эквива-

лентных элементов и будет данным разбиением.

Доказанная теорема найдёт в будущем неоднократное примене-

ние, позволяя опускать приведённое рассуждение в каждом кон-

кретном случае.

S 20. Определение кольца целых чисел

Для натуральных чисел не всегда выполнима операция, обратная

сложению, т. е. вычитание (S 16, теорема 1). Поставим задачу

расширить множество N натуральных чисел до такого множества С,

где были бы заданы операции сложения и умножения, обладающие

теми же свойствами, какими они обладают для натуральных чисел,

причём вычитание было бы всегда возможно. Это значит, что С

должно быть кольцом (S 7, определение 1). Будем искать мини-

мальное из таких расширений в смысле следующего определения:

Определ е ние 1. Кольцом цслы.х чисел называется яини-

яаљное Кольцо С, содержащее яножсство N всех натуральных

чисел, т. е. множество, обладающее свойстваяи: 1) С содержит N;

2) А С есть кольцо; З) сложение и умножение натуральных чисел

совпадают с ОДНОИМЁННЫМИ операциями над этими числами в кольце С;

4) кольцо С не содержит отличного от него подкольца, содержа-

щего множество N. Элементы колыш С называются целыми

числами.