тогда и только тогда, когла bc

152

ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА, ГРУППЫ, кольца И ПОЛЯ

Доказательство аналогично данному для теоремы 2.

% • d¯bd;

Для частных справедливы правила сравнения и

оперирования.

а

а)

(8)

6)

в)

г)

а

с

а

с

ad bc

ас

Доказываются они на основе теоремы З из S

соответствующие свойства частного в любом поле

При этом в пунктах б), в) и г) из существования

части вытекает их существование в правой части.

Далее, из (6) и теоремы З S 14 находим:

Т е о рема 4. Для того чтобы существовало

14 дословно как

(S 7, теорема 8).

частных в левой

а

частное

не-

обходимо (но, как сейчас увидим, недостаточно), чтобы было

а Ь. Если частное существует, то оно единственно.

а

Что из а ещё не следует существования частного

пока-

зывают простые примеры. Так, определяя числа

убеждаемся, что не существует а, для которого З. Из (6)

должно быть а<З, т. е. или или а но 2. и

2. 2=4.

Это обстоятельство обусловливает коренное различие свойств

вычитания и деления и приводит к ряду свойств чисел, составляю-

щих так называемую теорию Делимости 1).

S 17. Замечания о системе аксиом натуральных чисел

Отправляясь от системы аксиом I—IV (S 11), мы построили

арифметику натуральных чисел. Вернёмся теперь снова к вопросам

аксиоматического обоснования этой теории.

При оценке системы аксиом всякой аксиоматической теории при-

ходится решать три основных вопроса (правда, неодинаковой труд-

ности и значения) — это вопросы о непротиворечивости, полноте и

независимости аксиом.

1) О свойствах делимости см. статью А. Я. Хипчина, помещённую

в этой книге.