ПО ЛЕ Р,МШОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

177

пары вида (0, Ь) эквивален сны между собой. Обратно, любая пара

(х, у), эквивалентная паре (0, Ь), сама имеет тот же вид, так как

из и Ь следует х Таким образом, все пары вида

(0, Ь) образуют один класс, который, очевидно, является нулём

кольца Го. Далее, очевидно, что противоположным для класса а,

содержащего пару (а, Ь), является класс, содержащий пару (—а, Ь).

Будем его обозначать через — а.

Проверим теперь выполнение аксиомы VII. Пусть ланы классы

р, причём класс а отличен от нуля. Если а содержит пару

р— пару (с, d), то а # 0. Существует поэтому пара (bc, ad).

Пусть —класс, содержащий эту пару. Из

(а, b)(bc, (с, d)

следует что и доказывает VII. Итак, Го является полем.

Выясним ещё, какой смысл имеют в поле Го единица и обратный

элемент. Если где а отлично от нуля, а содержит (а, Ь),

где а # 0, е содержит (х, у), то (а, Ь) (х, у) е-м (а, Ь), откуда

х Очевидно, что, обратно, пара вида (х, х), х

удовлетворяет условию

(а, Ь)(х, х)гм (а, Ь)•

Все пары этого вида составляют один класс, играющий, очевидно,

роль единицы в поле Го.

Обратным для класса а, содержащего пару (а, Ь), 0, будет

класс, содержащий пару (Ь, а), так как (а, b)(b, a)==(ab, ab) при-

надлежит единичному классу.

Построенное поле Го является изоморфным полю рациональных

чисел. Само поле Го не удовлетворяет определению 1, та1< как не

содержит среди своих элементов целых чисел.

Займёмся теперь включением в поле Го кольца целых чисел.

Сначала наИдём в поле Го множество, изоморфное кольцу целых

чисел С. Пусть класс а содержит пару (Ь, с), где Ь делится на с,

т. е. Очевидно, что две пары вида (асо ст) и (ас„ ф) экви-

валентны. Обратно, всякая пара, эквивалентная паре (ас, с), сама

будет вида (ася, ся). В самом деле, из (b1, с] ) (ас, с) следует:

откуда Итак, класс а состоит из пар вида (ас, с)

с данным а и любым с

Пусть С —множество всех классов пар (Ь, с), где Ь делится

на с. Каждому классу а из С' поставим в соответствие число а

такое, что пара (ас, с) принадлежит этому классу а. Так как

со, то этим определено однозначное отображение

(асо ст) (ас,д,

множества классов С во множество целых чисел С. Двум

разным классам соответствуют разные числа, и любое число а соответ-

ствует некоторому классу, именно классу, содержащему пару (ас, с).

Таким образом, есть взаимно однозначное отображение С' на С.

12 Энциклопедия, кн. 1.