ПОЛЕ РАЦИОНЛЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

тогда и только тогда, когда ad

(а, (ad-}- Ьса bd),

(а, Ь) (с, (ас, bd).

175

(3)

(4)

Отметим, что пары в правых частях (З) и (4) снова принадле-

жат множеству М, так как из Ь $0 и следует для

любых целых чисел Ь и d (S 21, теорема 2).

Т е о р е м а 4. Сложение и уянолсение пар кояяутативны,

ассоциативны, а вместо закона Дистрибутивности верна эквива-

лентность

[(а, Ь) + (с, d)] (е, f)r• (а, Ь) (е, d)(e, Л.

(5)

Доказат ель ство Все эти свойства доказываются непосред-

ственной проверкой с использованием свойств целых чисел как эле-

ментов кольца (5 20, определение 1). Проверим, например, эквива-

лентность (5). Преобразуем левую и правую части отдельно:

[(а, d)] (е, (ad—l- bc, bd) (е, bdf),

(а, d)(e, (ае,

— (ае df-}- bfce, bfdf).

Но из определения эквивалентности (2) следует, что получив-

шиеся в итоге пары эквивалентны.

Отношение эквивалентности пар (2) обладает тремя основными

свойствами равенства (S 19), а именно:

1) (а, (а, Ь), ибо

2) если (а, Ь)о-' (с, d), то (с, (а, Ь); ибо если

то сь

З) если (а, (с, d) и (с, (е, f), то (а, (е, f), ибо умно-

жая равенство ad на f и равенство на Ь, находим:

bde, т. е. откуда be, так как d О.

Это отношение определяет разбиение множества М на классы

эквивалентных пар. Будем обозначать эти классы малыми греческими

буквами а,

Определ ен ие 2. Пусть Го есть яножеьтво всех классов

эквивалентных пар множества М. Суммой (произведением) двух

классов а и р назовём тот класс р (соответственно, ф), кото-

рый содержит сумму (произведение) пары класса а и пары

класса

Как и в предыдущей главе, независимость суммы и произведе-

ния классов от выбора их представителей вытекает из такой теоремы:

d2), то

112) и (со Щ)

Теорема 5. Если ((11, 111)

„м (аи, [12) ф).