176

ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА, ГРУППЫ, КОЛЬЦА И ПОЛЯ

Доказательство. Как и прежде (5 20, тсорема 5), доста-

точно доказать, что для любой пары (с, d) будет:

(а» d)o., (02 , + (с,

и

по условию эквивалентности (2) имеем:

ti1b2 афг

Умножим обе части на d. Найдём:

(i1b2d a2bld.

Прибавим к обеим частям b1cb,. Получим:

-4- brcb„.

Умножим обе части снова на d и вынесем общие множители за

скобки. Будем иметь:

(ат Ь,с) b2d (ат -1— b2C) b1d,

откуда

(a1d-l- b1C, bld)r-u (a2d—l— b2C, b2d).

Умножим обе части равенства a1b2 на cd. Найдём:

(а1С) (b2d) (а„с) (b1d),

откуда

(atc, (а2С, b2d).

Итак, определение 2 действительно вводит во множестве Го

классов эквивалентных пар однозначно определённые операции сло-

жения и умножения.

Т е о р е м а 6. Множество Го с операциями, указанными в опре-

Делении 2, является полем.

Доказате льст во. Нужно проверить выполнение в Го аксиом

I—VI (5 7, определение 1) и VII, VIlI (5 8, определение 1). Так

как операции в Го определены для классов через их представителей,

то выполнение аксиом 1, П, lV, V и АЛ следует из теоремы 4. Так

как, очевидно, множество Го содержит более одного элемента, то

выполнена аксиома VIII. Выполнение аксиомы III следует из того,

что если класс а содёржит пару (а, Ь), класс р— пару (с, d), то из

(а, Ь)-ј- (bc— ad, — abd, b2d)ou (с, d)

следует, что класс Х, содержащий пару (bc — ad, bd), удовлетворяет

условию афт

Итак, уже доказано, что Го является кольцом. Выясним, какой

смысл имеют в этом кольце нуль и противоположный элемент. Все