154

ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВЛ, ГРУППЫ, КО ТЫЛА И ПОЛЯ

высказанное в терминах данной теории? Австрийский математик

Гедель в 1931 г. доказал, что для ряда теорий, в том числе и для

аксиоматической теории натуральных чисел, полнота в этом смысле

отсутствует, т. е. существуют неразрешимые данными средствами

предложения. Мы будем считать систему полной в ином смысле,

именно, если она вполне определяет, т. е. до изоморфизма одно-

значно описывает, данное множество. Итак,

О пр е дел е н ие 2. Система аксиом называются полной, если

две любые её интерпретации изоморфны (S 9, определение 1).

Примером неполной системы аксиом может служить система

свойств I—VI, определяющая понятие кольца (S 7). Ведь суще-

ствуют неизоморфные кольца (хотя бы конечные и бесконечные).

Более того, основной интерес теории колен и лежит в описании

всех типов колец.

Докажем, что система аксиом I — IV натуральных чисел полна.

Пусть N1 и N,— две интерпретации этой системы. Числа в этих

интерпретациях будем отличать индексами 1 и 2. Строим по индук-

пии (S 15, определение 1) функцию f(Xl), заданную на всём мно-

жестве N1, значение которой принадлежит и такую, что

1) f(1D— 12, 2)

по теореме 1 из S 15 такая функция существует и только

одна. Покажем, что соответствие является изоморфизмом

N1 и М. Если ая # 11, то ат и

f(aD [f(bl)]' 12.

Итак, 1, имеет единственный прообраз в ЛА, именно 11.

Пусть

ая имеет единственный прообраз а,. Тогда

[f(aD]'

Стало быть, а имеет хотя бы один прообраз. Если b1 — любой

прообраз для то по 1) 11 , т. е. и

По аксиоме III следует: а так как ая — единственный

прообраз то и по аксиоме II b1 Следовательно,

а; — единственный прообраз для а;. По аксиоме индукции lV любой

элемент в имеет один и только один прообраз в ЛЛ. Соответ-

ствие ав взаимно однозначно. Из 2) следует, что отобра-

жение

луј на

сохраняет основное отношение «следует». Остаётся доказать это

для обратного отображения Г 1 Но из

следует f-1 (а;) т. е. и обратное отображение сохраняет отно-

шение «следует».