165

КОЛЬЦО ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ

До ка за тел ь ст в о. Нужно проверить выполнение в Со аксиом

I—VI (5 7, определение 1). Так как операции в Со определены

для классов через представителей этих классов, то выполнение

аксиом 1, II, IV, V и VI следует из теоремы 4.

Займёмся аксиомой 111. Пусть даны две пары (а, Ь) и (с, d).

Если бы существовала пара (х, у), для которой (а, Ь) —1— (х, у) ==

==(с, d), то т. е. а b

если имеет место хотя бы одно из условий а» с, Ь то

такой пары (х, у) не существует. Таким образом, вычитание

пар не всегда возможно, т. е. сами пары кольца не образуют. Тем

не менее Со будет кольцом. Пусть а и [3 два класса из Со, причём а.

содержит пару (а, Ь) и [3— пару (с, d). Надо найти класс такой,

что Если (х, у)—пара искомого класса Х, то вовсе не

нужно, чтобы выполнялось равенство (а, Ь) -l-(x, у)==(с, d), а до-

статочно лишь эквивалентности (а, Ь) (х, у) ем (с, d). Пред-

положим сначала, что пара (х, у) с этим свойством существует.

Тогда (а —1— х, о-э(с, d), откуда или

(а -l—d) (Ь с) фу. По определению эквивалентности (2)

По теореме 5 достаточно проверить, что хотя бы одна пара

(х, у) с этим условием обладает требуемым свойством, т. е. удов-

летворяет соотношению (а, Ь) + (х, у) (с, d). Но сама пара

(Ь -1— с, a+d) обладает нужным свойством. Действительно,

Этим доказано существование класса у, для которого а -1— х

Теорема доказана.

Из существования класса со свойством вытекает

его единственность (5 6, теорема 1).

Выясним, какой смысл имеют в кольце Со нуль и противополож-

ный элемент.

Нуль по его определению — такой класс 0, что а-[-0 для

любого класса а. Если а содержит пару (а, Ь) и 0— пару (х, у),

то должно быть (а, Ь) 4- (х, у) (а, Ь). Отсюда, как в доказатель-

стве последней теоремы, с заменой (с, d) на (а, Ь) получим:

По (2) любая такая пара действительно удовлетворяет условию

Итак, нулём кольца Со является класс 0, содержащий все пары

с равными элементами.

Џротивоположный элемент для класса а— это такой класс — сд,

для которого Если а содержит (а, Ь) и

—а содер-

жит (х, _v), то (а, Ь) + (х, у) К). Здесь можно писать не

, так как по (2) пара, эквивалентная паре (К, К), сама имеет