150

понятия множнствд, группы, КОЛЬЦА и поля

Аналогично можно придти к определению степени ап как произ-

ведения п сомножителей, равных а. Итак, докажем теорему:

Т е о рема 2. Для любых натуральных чисел а и п справед-

ливо равенство

ап

(9)

где ап означает произведение чисел а и п (в смысле определе-

ния из S 13). В частности,

т. е. любое натуральное число п равно сумме п единиц.

Доказательство. Для согласно свойству 1) опреде-

ления из S 13 и свойству (1) суммы имеем:

а, то по свойству 2) определения S 13 и свой-

Если ап

ству (2) суммы имеем:

По аксиоме IV теорема доказана.

S 16. Вычитание и деление

Основные вопросы арифметики натуральных чисел, обоснование

которых содержит трудности, связанные с аксиоматическим построе-

нием, нами уже изложены. Остановимся ещё на свойствах обратных

операций.

О п р е дел е н ие 1. Вычитанием натуральных чисел назы-

дается Действие, обратное сложеншо, т. е. соответствие, кото-

рое с числами а и Ь сопоставляет число а— Ь (называемое разно-

стью а и Ь) такое, что

(1)

Отсюда в связи с определением и теоремой З из S 14 находим:

Т е ор е ма 1. Разность • — Ь существует тогда и только

тогда, когда а Если разность существует, то она един-

ственна.