222

понятия МНОЖЕСТВА, группы, кольцл и поля

В самом деле, пусть а По аксиоме Архимеда

существует натуральное число

тогда Далее,

существуют натуральные числа rrli и тя, для которых

т. е. Поэтому множество А тех целых чисел К,

для которых непусто (ибо содержит т1) и ограничено снизу

числом — ты. Следовательно, оно содержит наименьшее число т

4 а откуда

(S 21, теорема 5). Тогда

п

лежит между а и Ь.

т. е. рациональное число —

При изоморфном отображении f поля D в себя поле рациональ-

ных чисел тождественно отображается на себя (S 23, теорема 2).

Если бы отображение .f не было тождественным отображением

поля D на себя, то существов: ло бы действительное число а такое,

что # а. Пусть, например, a

ствует рациональное число с такое, что откуда

но

т. е. число перешло в число что невозможно.

Оперировать с действительными числами как классами фунда-

ментальных последовательностей рациональных чисел практически

неудобно ввиду громоздкости такого изображения. На практике

при вычислениях с действительными числами применяется их запись

десятичными дробями 1).

S 27. Аксиоматическое определение действительных чисел

Совокупность натуральных чисел мы определили при помощи

основного отношения «следует», подчинённого системе аксиом Пе-

ано (S 11, определение 1). Такое построение математической тео-

рии является а кс и о м а ти че с к и м. Далее, с помощью натуральных

чисел мы последовательно определили целые, рациональные и дей-

ствительные числа. Во всех этих трёх случаях новая числовая об-

1) См. статью А. Я. Хинчина «Элементы теории чисел», гл. lV.