230

ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА, ГРУППЫ, КОЛЫ(А И ПОЛЯ

теорема 5). Так как и 1i принадлежат М и

К— минимально, то т. е. любой элемент из К представим

в виде (1).

Т е о р е ма 2. Все поля комплексных цис,ел изоморфны летсДу

собой, т. е. поле комплексных чисел определено однозначно с поц-

ностью до изоморфизма.

Доказательст во. Пусть К, и Кв— два поля комплексных

чисел, причём К, содержит элемент 4, а К 9 — элемент i9 со свой-

1. По предыдущей теореме все элементы К за-

ством О —

писываются в виде a+bi1 и все элементы из К 9 — в виде а -Г- bi2

с действйтельными а и Ь, причём однозначно. Отсюда легко вы-

вести, что соответствие -Г- bi2 является взаимно одно-

значным отображением К] на К,. Из равенств (2), б), в) следует,

что сложение и умножение элементов из К 1 и К2 сводится к одним

и тем же действиям над действительными числами. Отсюда легко

вывести, что отображение f изоморфно. Надо доказать, что

f(X1

для любых хт и ут из К 1. Проверим лишь первое из этих соотно-

шений, так как для второго рассуждение аналогично.

Пусть хт у, Тогда

f(X1 4- (с di1)] [(а -1- с) + (Ь 4- d)i1]

(а + с) + (Ь + d)i2 (а -1- bi2) -Г- (с

Теорема доказана.

З а м е ч а н и е. При изоморфизме f любое действительное число а

отображается само на себя, а элемент i1 переходит в 4.

Т е о р е ма З. Любое поле Р, содержащее поле Действительных

чисел D и элемент i со свойством — 1, содержит поле колплекс-

ных цисел.

Доказ а т ель ст во. Пусть К— множество всех элементов

поля Р, представимых в виде a-[-bi с действительными а и Ь.

Как в доказательстве теоремы 1 [п. 6)], убеждаемся, что К— под-

поле поля Р; К содержит поле действительных чисел D и элемент i.

Так как любой элемент из К имеет вид а 4-bi, то по теореме 1

поле К минимально в смысле определения 1, т. е. К является полем

комплексных чисел. Теорема доказана.

Теперь докажем существование поля комплексных чисел. Как и

в случае целых рациональных и действительных чисел, достаточно

построить интерпретацию (конкретный пример) поля, удовлетворяю-

щего определению 1. Можно было бы элементами этого поля просто

считать символы а -{-bi, где а и Ь— действительные числа, а г—

символ, подчинённый условию 1. Но тогда надо показать,