232

ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА, группы, КОЛЬЦА И ПОЛЯ

Итак, Ко является кольцом. Легко видеть, что нулём этого кольца

является пара (0, 0), а противоположная пара и разность пар опре-

деляются равенствами

(с, d)==(a—c, Ь— d).

Проверяем обратимость умножения (свойство VII). Пусть (а, Ь)

и (с, d)— двё любые пары, причём (а, Ь) (0, 0). Последнее озна-

чает, что либо а О, либо Ь 0 1).

Так как а и Ь— действительные числа, то (S 10,

теорема 7). Надо найти пару (х, у), удовлетворяющую уравнению

(5)

Предположим сначала, что такая пара существует. Тогда

(ах—Ьу, (с, d),

откуда ах—Ьу==с, Решая эту систему уравнений

относительно х и у, найдём:

ас + bd

ad — bc

(12 + •

Этим доказано, что если пара (х, у), удовлетворяющая (5), суще-

ствует, то только одна, именно та, где х и у определяются из

написанных для них выражений. Легко проверить, что такая пара

действительно удовлетворяет равенству (5). В самом деле,

ас + bd ad — bc

авс 4- abd — bad 4- ћ2с

Этим свойство VII доказано.

a2d — abc -1- Дас 4- 1)2d

Так как Ко содержит более одного элемента, то свойство VIII

выполнено. Теорема доказана.

Отметим, что единицей поля Ко является пара (1, 0), так как

—(a.l—b.O, а. 04 Ь 1)

Мы увидим, что поле Ко с точностью до изоморфизма является

полем комплексных чисел. Это поле не удовлетворяет определению 1,

ибо оно не содержит действительных чисел.

Займёмся включением в поле Ко поля действительных чисел D.

Пусть D' — множество всех пар поля Ко вида (а, О). Из формул

(З) и (4), определяющих сложение и умножение пар, легко следует,

что отображение а (а, 0) является изоморфным отображением

поля D на множество D'. Следовательно, D' само является полем

(S 9, теорема 1). Далее, существует поле К, содержащее D в ка-

1) Равенство и неравенство пар, как и элементов любых множеств, мы

понимаем просто как тождество или разиичие. Таким образом (х, t)

тогда и только тогда, когда i.