КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ

а

ПОЛЕ

и

235

то

COS ао И

то

а

sin ао, то положим а если

- cos а

Если

— sin

30 , то положим: и если

< 1. Существует число ао такое, что

(S 26, теорема 5). Так как

о

и

— а. Всегда получим число а такое, что

то положим: а1 — —

а

— sin а,

и таким образом

+ bi ar (cos а -4- i sin а ).

Итак, г записано в тригонометрической форме. Очевидно, что, при-

бавляя к а число 2k%t с любым целым К, мы получим тригонометри-

ческую форму того же числа г.

Докажем единственность модуля. Пусть а —l- (cos а —l—i sin а).

Тогда

cosa, Ь sin а.

(1)

Возводя эти равенства в квадрат и складывая, находим: а24-

Ь2. Мы берём положительное значение корня, ибо

r>0- Этим единственность r доказана.

Наконец, если даны две тригонометри-

ческие формы числа г:

г (cos а1 -4- Ё sin (11) r (cos а, -l-i sin

то при г также r О, откуда

sin а] sin

cos cos Ч,

и, как известно из тригоно.метрии, тогда О

—Е 2h•,: с целым К. Теорема доказана.

Выясним геометрический смысл модуля и

аргумента. Пусть числу (cos а sin а)

Г

Рис. З.

соответствует точка Z плоскости Оху (рис. З). Соединим эту точку

отрезком прямой с началом координат О и опустим из точки Z на

действительную ось Ох перпендикуляр ZP. Если 4-bi, то

длина отрезка ОР равна lal, а длина ZP равна lbl. Поэтому

ОП ОР + zp а9 + 72,

откуда Итак, модуль числа г равен расстоянию точки Z от