ПОЛЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ.

211

Поэтому ап при любом но,

т. е. lim ап отку-

да а

Итак, один из трёх указанных выше случаев обязательно имеет

место. Если класс а положителен, то существует рациональное а > О

и по такие, что ап>а, при любом п>по. Этим исклю-

чается как lim т. е. так и положительность класса — а.

Аналогично показывается, что положительность — а исключает два

других случая. Этим уже доказано, что все три случая несовместимы,

т. е. свойство lX выполнено.

Свойство Х выполнено, так как сумма и произведение по-

ложительных последовательностей, очевидно, снова положи-

тельны.

Итак, доказано, что — расположенное поле. Считая р, если

— р положительный класс, введём в Do порядок, при котором

положительные элементы и только они будут больше нуля (S 10,

теорема 1).

Легко видеть, что единицей поля Do будет класс, содержащий

1, 1, . и все последовательности ап },

последовательность 1 1

ей эквивалентные, т. е. такие, для которых lim 1. Будем обо-

значать этот класс через (1).

Покажем, что в Do выполнена аксиома Архимеда XI. Пусть класс

содержит последовательность ап Выше мы показали, что фунда-

ментальная последовательность ограничена. Поэтому существует ра-

циональное число а такое, что ianl

любом п. Так как в поле рациональных чисел аксиома Архимеда

выполнена (S 23, теорема З), то существует натуральное число

1. Тогда при любом п и, следовательно, класс

К • положителен, т. е. К • Отсюда для поля D о вы-

текает Xl.

Наконец, покажем, что в Г-)о выполнена аксиома полноты ХН (S 24,

определение 5). Заметим сначала, что если класс а содержит после-

довательность ап }, где ап>О при любом п, большем некоторого

натурального числа пе, то а > (О), так как, очевидно, неравенство

невозможно. Поэтому, если а содержит { ап} и р содержит

bn }, то из ап>Ьп при любом п>по следует а>Р. Аналогично

тому, как классы, содержащие последовательности О } и 1 }, мы

обозначили через (0) и (1), мы теперь для любого рационального

числа а обозначим через (а) класс, содержащий последовательность

Такие последовательности, все члены которых

равны, мы будем называть стационарными. Очевидно, что соответ-

ствие а (а) является изоморфным отображением поля Г рацио-

нальных чисел на множество Г' всех классов, содержащих стацио-

нарные последовательности. Следовательно, 1” также является полем

(S 9, теорема 1).

В поле Do, как в любом архимедовски расположенном поле,

определены понятия предела и фундаментальной последовательности,

14 *