ПОлВ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИС,ЕЛ

219

делены (S 15, теорема 1). Покажем, что выполнены свойства (З),

(4), (5). Выполнение свойства (4) непосредственно следует из опре-

Выполнение свойств (З) и (5) докажем

деления чисел ап+1 и

индукцией по п. Так как то эти свойства выполнены

при п 1. Пусть они выполнены для числа п, т. е. 7

очевидно,

. Тогда по определению апн

— апн —

— а . Покажем, что {а

Из (4) вытекает, что если p

есть фундаментальная последовательность. Так как поле действи-

тельных чисел архимедовски расположено, то для любого числа

существует натуральное число по такое, что (S 23,

( из а % р следует а -4: Ь, т. е. Ь

теорема 5) и

'2По

Тогда, если p

(1

при любых р, q>no.

ap

В силу полноты поля действительных чисел последовательность

имеет предел с. Из (5) (снова применяя теорему 5 из S 23)

а потому последовательность

легко находим, что 1im (ап

п [S 24, теорема 2,

1im Ь

{ Ьп } также сходится, причём 1im ап

Так как функция / (х) непрерывна на отрезке [а, Ь], то по

теореме находим: Но из (З) получаем:

limf(bn) [S 24, теорема 2, д)], или

f(c) что и требовалось доказать.

Из многочисленных приложений этой теоремы укажем лишь на

извлечение корня и определение угла по значению синуса, что бу-

дет использовано в следующей главе.

Т е о р е ма 4. Для любого Действительного числа и

любого натурального числа п существует одно и только одно

а. ИныМи словами,

Действительное число такое, что Ь

а ияеет одно и только одно положительное вначение Ь: Если

п чётно, 1п0 этот корень имеет ејцё одно п толысо одно отри-

— Ь с то:Ј :усе абсолютно!Ј величиной. Если

цатељное значение

а то единственное значение корня будет / а Если а < О,

то при нечётном п существует одно и только одно Действитель-

ное значение корня и притом отрицательное, а при чётнол п

в поле Дейсјпвительных чисел а значений не имеет.

Доказа тель ст во. Функция задана и непрерывна

на множестве всех де\ђствительных чисел, а следовательно, на любом

отрезке. Пусть Берём число 1. Из 1 следует