ПОЛЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

225

В самом деле, если Рт и Рй — две интерпретации системы аксиом I—XlI

(т. е. два непрерывных поля), то для однои и той же интерпрета-

ции Г поля рациональных чисел существуют поля и IX, содер-

жащие в качестве подполя поле Г и изоморфные (относительно

сложения, умножения и расположения) соответственно Рт и Р, (5 23,

теорема 2). В силу этого изоморфизма ноля 1), и 1), сами непре-

рывны и, следовательно, изоморфны относительно обеих операций и

порядка (5 25, теорема 2). Но тогда по свойствам изоморфизма

поля Р! и изоморфны между собой (также относительно сложе-

ния, умножения и расположения).

Этим полнота системы аксиом доказана.

Поскольку непротиворечивость и полнота системы аксиом 1 — XII

доказаны, эта система точно определяет поле действительных чисел

и является фундаментом для построения теории действительного

числа. Такое построение было в известных пределах выполнено

нами в предыдущем параграфе.

Вопрос о независимости системы аксиом [—XII (S 17, опре-

деление З) не имеет такого принципиального значения, и мы им

заниматься не будем. Укажем лишь, что каждая из аксиом XI и Xll

независима от остальных аксиом

Мы определили непрерывность расположенного поля при комогци

аксиомы Архимеда и аксиомы полноты (S 24, определение 6). Суще-

ствует много других форм аксиом непрерывности. Приведём две

из них. Чтобы их формулировать, нужно ввести некоторые новые

понятия.

Сецениел упорядоченного лноэюества (и, в частности, рас-

положенного поля) Р называется пара непустых подмножеств Х, У

множества Р, не имеющих общих элементов, объединение кото-

рых (5 2) равно Р, т. е.

причём для любых элементов и у(У. Если э.чемент а

является наибольшим элементом в Х, причём У не имеет наимень-

шего элемента или же а является наименьшим элемен том У, при-

чём Х не имеет наибольшего элемента, то элемент а называется

рубежом Данного сечения.

Элемент Ь упорядоченного множества Р называется предельным

элементом жнотсества А, если для любых элементов Ь! и b2 таких,

что bl существует бесконечйое множество элементов а

из А, для которых

Легко убедиться, что для расположенного поля Р это опреде-

ление эквивалентно такому:

Элемент Ь называе гся предельным для лнотсества А, если для

любого элемента е из Р существует бесконечное множество

элементов а из А, для которых а— Ь

16 ОНЦНКЈХОП"ДИЯ, КН. 1.