ПОЛЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ

229

До казатель ст в о. а) Пусть каждый элемент х поля К пред-

ставим в виде (1) с действительными а и Ь и пусть Р— любое

подполе поля К, содержащее поле действительных чисел D и не-

1. Так как i2

который элемент со свойством

Но поле К не имеет дели-

то (i+j)

телей нуля (S 8, теорема 1), следовательно, либо либо

откуда Для любого х из К тогда

т. е. принадлежит р, Р совпадает с К. Этим доказана

минимальность поля R.

б) Пусть, обратно, поле К минимально. Покажем, что любой

элемент х из К представим в виде (1). Пусть М есть множество

всех элементов поля К, представимых в виде (1). Покажем, что

выполняются следующие свойства:

а)

а 4- bi с 4- di

тогда и только тогда, когда а==с и

6)

в)

г)

(2)

(а 4- bi) (с А- di) (ас — bd) + (ad -1— bc) Е;

bc — ad

где c4-di

В самом деле, если и то из однозначности суммы

и произведения в поле К следует, что а -Г- -l-di. Обратно,

если то из следует bi==di, а потому с.

т. е. i принадлежит полю действи-

Если же то

тельных чисел, что невозможно, ибо i2 1 а квадрат лей-

ствительного числа не отрицателен (5 10, теорема 7). Таким об-

разом, и а==с, чем доказано утверждение а).

Так как из свойств нуля очевидно, что 0+0 • i==0, то из а),

в частности, следует, что тогда и только тогда, когда

Равенства б) и в) следуют непосредственно из свойств сложе-

ния и умножения в поле К.

Если c+di 0, то либо с # 0, либо и по доказанному

выше также c—di 0. В этом случае также Умножая

делимое и делитель в левой части равенства г) на c—di 0, мы

не изменим частного и легко приведём его к выражению, стоящему

в правой части равенства.

Из а) следует однозначность представлении элемента х в ви-

ле (1).

Из б), в) и г) следует, что сумма, разность, произведение и

частное (если делитель отличен от нуля) двух элементов множе-

ства М снова принадлежат М, т. е. М есть полполе поля Р (5 8,