214

ПОНЯТИЯ МНОЖВСТвЛ, ГРУППЫ, КОЛЬЦЛ И ПОЛЯ

S 26. Свойства действительных чисел

Поле действительных чисел D обладает всеми рас.

положенных полей, доказанными в главе 11. Так, в этом поле от-

сутствуют делители нуля (S 7, определение 2 и теорема 2, S 8,

теорема 1). Имеют смысл понятия положительного и отрицательного

чисел (5 10, определение 1) и вводится порядок, нри котором нуль

меньше всех положительных и больше всех отрицательных чисел

(S 10, теорема 1). Справедливы закон монотонности и обычные при-

вила оперирования с неравенствами (S 10, теоремы 2—4). Квадрат

любого числа, кроме нуля, положителен (S 10, теорема 7). Имеет

смысл понятие абсолютной величины (S 10, определение 2), при-

чём абсолютная величина обладает обычными свойствами и верны

обычные правила сравнения и оперирования нал членами через срав.

нение и оперирование над их абсолютными величинами (S 10, тео-

рема 8 и следующие за ней замечания).

Действительные числа, не являющиеся рациональными, называются

иррациональными.

Переходим к задаче об извлечении корня из любого действи-

тельного числа. Решение этой задачи мы получим, рассмотрев го-

раздо более общую задачу о нахождении значения аргумента,

при котором непрерывная функция принимает данное значение.

Понятие о непрерывной функции, связанное с понятием предела

последовательности, играет основную роль во всем математиче-

ском анализе.

Общее понятие функции нам уже известно (5 З, определение 1).

Здесь мы будем рассматривать лишь функции, связанные с полем

действительных чисел.

Опре дел е ние 1. Действительной функцией (или функцией

Дейстш!тельного переменного) у (или короче Л, заданной

на мнотсестве Х Действительных чисел, называется соответствие,

сопоставляющее с каждым числом х множества Х одно определённое

Действительное число (х). Число х называется значением

аргумента, а у— знћчениеж функции при Данном значении аргу-

лента х (или в точке х).

Всюду в этом параграфе под функциями мы, не оговаривая этого,

будем понимать действительные функции.

Определение 2. Функция y==f(x), заданная на „уноэюе-

стзе Х Действительных чисел, называется непрерывной в точке хо

множества Х, если для любого Действительного числа суще-

ствует Действительное число такое, что из 1 х— хо

следует lf(x) —f(xo) для любого числа х множества Х. Фушс-

дня называется непрерывной на жноэюестве, если она

непрерывна в каждой его точке (т. е. для любого числа хо из Х).

Связь понятия непрерывности функции с понятием предела опре-

щеляется теоремой: