236

ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА, группы, КОЛЬЦА И ПОЛЯ

р— радианная мера угла, образуе.мого

начала координат. Если

лучом 0Zc положительным направлением действительной оси, отсчи-

тываемого от нее в направлении, совпадающем с кратчайшим пово-

ротом от положительного направления действительной до положитель-

ного направления мнимой оси, то, проведя окружность радиуса r

с центром О, мы видим, что а и Ь по абсолютной величине и по

знаку совпадают с линией косинуса и линией синуса утла р. Таким

образом, в силу (1) должно быть:

а

cos [3 — cos а, sin — sin а,

откуда -4— 2kT. Итак, аргумент числа с точностью ло слагае-

мого, кратного 26, равен углу луча 0Z с положительным направле-

нием действительной оси.

Из доказанного вытекает, что модуль и аргумент числа z

являются полярными координатами соответствующей точки ZB системе

појшрных координат, у которой полюс лежит в начале коорди-

нат О, а полярная ось совпадает с положительным направлением

действительной оси Ох.

Умножение комплексных чисел, заданных в тригонометрической

форме, выглядит особенно просто.

Т е о рема 2. При умножении любого конечного числа кон-

плексных чисел лодулн их перелнотсаются, а аргументы склады-

воются.

Док аза тел ь с т во. Ограничимся случаем двух сомножителей,

так как проведение индукции не представляет затруднений. Итак,

надо доказа ты

tr1 (cos ат siIl • (cos isin

[cos (а, А- а?) -0- si,l ((11-1- (2)

но

(cos —1- i sin (11) (cos а, -l-i sin Ч) (cos сч cos — sin sin (32) -4-

А- i (cos а, sin а, -1- cos Ч) cos (ч А- (12) i sin (а1

Отсюда непосредственно вытекает (2). Так как из

ф аргумент произ-

следует » 0, то r1r„— модуль и u,z—

ведения данных чисел, чем теорема для случаев двух сомножите-

лей доказана.

Из этой теоремы вытекает

Т е ор е м а З. При Делении комплексных чисел модули делятся,

а аргументы ВЫЦИ1паются, точнее

r1 (coscq i sin 01)

[cos (а, — i sin ((11 — at)].

(cos -1- i sin ti2)

(3)