ПОЛЕ КОМПЛЕКСЏЫХ ЧИСЕЛ

239

Пусть надо найти действительные значения из действитель-

ного числа z 4:0. Эти значения изобразятся верншнами указанного

выше правильного п-утольника, лежащими на действительной оси.

Отсюда сразу ясно, что действительных значений может быть не

более двух, и если их два, . то они равны по абсолютной величине

и противоположны по знаку. Если то его аргумент а и

вершина, изображающая число го, лежит на положительной. действи-

тельной полуоси. При чётном• п противоположная вершина также

попадает на действительную ось, и мы получим два действительных

значения корня; при нечётном же п другая вершина не может

попасть на действительную ось, и мы получаем одно действительное

значение. Если то Число .г,е будет действительным,

если его аргумент кратен т. При нечётном п аргумент

будет кратен при

и мы получим одно

2

действительное значение корня с аргументом Е, т. е. отрицательное,

2h+l

не может быть кратным Е, и

а при чётном п аргумент

мы вовсе не получим действительных значений корня.

Свойства модуля. Модуль комплексного числа обозначается

через z Совпадение этого обозначения с обозначением абсолют-

ной величины в случае действительного г не ведёт к противоречию,

ибо если — действительное число, то и для модуля

находим:

т. е. модуль действительного числа совпадает с его абсолютной

величиной.

Комплексные числа

называются сопряжённыли. Очевидно, что сопряжённые числа имеют

одинаковый модуль. Далее, произведение сопряжённых чисел равно

квадрату их модуля:

(а -1— bi) (а — bi) b2 r2.

Отсюда

(6)

Модуль комплексного числа обладает свойствами, аналогичными

свойствам абсолютной величины элемента расположенного поля

(S 10, теорема 8), а именно:

•lyl,

для любых комплексных чисел х и у.

(7)

(8)