256

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ

последнее столетие не было и нет во всём мире и традиции

которой в руках блестящей плеяды советских математиков и сегодня

ещё приводят к глубочайшим достижениям 1).

Нам предстоит здесь в кратком очерке проследить развитие

некоторых разделов этого учения от древнейших времён до наших

дней, уделяя — там, где это нужно, — особое внимание методоло-

гическоИ и педагогической стороне дела.

S 2. Однозначное разложение чисел на простые множители

Для всех многообразных разветвлений теории делимости цен-

тральное место занимает теорема об однозначной разложимости

чисел на простые множители:

Основная теор ем а. Всякое натуральное число, кроме 1,

может быть представлено как произведение простых множи-

телей; это представление единственно, ecJiit отвлечься от порядка

яножителей.

Последнее означает, что если мы имеем

П=РIР, • Ъ

где все и qj— простые числа, то и числа qj лишь по-

рядком расположения могут отличаться от чисел 1)i.

Примеча ни е. Число р называется простым (или абсо-

лютно простым), если оно не имеет других делителей, кроме р

и 1. Все другие числа, превосходящие 1, называются составными;

число 1 занимает особое положение, не будучи ни прост ы м,

ни соста в ны м. К сожалению, до недавнего времени почти все

наши учебники причисляли единицу к простым числам; да и сейчас

ещё сохранились среди методистов влиятельные сторонники этой

традиции, несмотря на её грубую ошибочность, многократно дока-

занную. Вопрос о том, считать ли единицу простым числом, не

есть, как это могло бы казаться, вопрос терминологии или вкуса.

Называя единицу простым числом, мы немедленно делаем невер-

ными почти все теоремы, связанные с простыми числами. Доста-

точно указать, что только что формулированная нами основная

теорема при этом становится неверной, ибо, например, число 5

может быть разложено на простые множители бесконечным мно-

жеством способов:

1 1. 5=1. 1-1 5

если 1 — простое число, то все эти разложения различны между

собою (хотя бы потому, что число множителей в них различно).

1) Важнейшие этапы развития этой шкоды очень детально изложены

в книге Б. Н. Де ло и е, Петербургская школа теории чисел, Издательство

АН СССР, 1947.