ДЕЛИМОСТЬ И ПРОСТЫЕ ЧИСЛА

257

Перейдём теперь к доказательству основной теоремы, которое

во многих отношениях представляет методологический интерес.

Прежде всего очень легко доказать воз можно ст ь разло-

жения. Пусть п —любое натуральное число. Среди его дели-

телей существуют числа, превосходящие 1 (например, само число п).

Пусть р, — наименьший из таких его делителей; очевидно, р, есть

простое число, ибо иначе оно имело бы такой делитель а, что

1 <рј; но а, будучи делителем Р] , б.ыло бы и делителем

числа п, что, очевидно, противоречит определению числа р,; итак,

где р, — простое число. Если 1, то, поступая с ним

так же, как мы только что поступили с числом п, мы представим

его н виде где р, — простое число; отсюда

если ещё 1, то этот процесс, очевидно, можно продолжать

и далее. Так как при этом п .

то проводимый

нами процесс после конечного числа шагов должен прекратиться,

что может наступить лишь при условии, что какое-либо 1.

Но тогда

— простые числа. Этим и доказана возмож-

где Рь Ру, - •

ность разложения любого натурального числа п на простые

множители.

Теперь мы должны убедиться в единстве н нос ти такого

разложения, что представляет собою задачу значительно более

трудную. Исторически очень интересно, что неочевидность этой

единственности (а значит, и необходимость её доказательства) была

осознана сравнительно поздно, после того как долгое время уже

пользовались ею как самоочевидным фактом. Повидимому, Гаусс

впервые настойчиво указывал на то, что невозможность двух суще-

ственно различных разложений одного и того же числа на простые

множители отнюдь не самоочевидна и нуждается в строгом доказа-

тельстве. Даже такие выдающиеся ученые, как, например, Лежандр,

писавший незадолго до Гаусса, не замечали этого. Дальнейшее

развитие теории чисел показало, в какой мере Гаусс оказался

прав не только с формально-логической, но и с идейной точки

зрения. В XIX столетии ученым пришлось исследовать законы дели-

мости для областей, более сложных, чем числа натурального ряда, —

для так называемых целых алгебраических чисел. Законы эти во

многом напоминали то, что мы имеем в области натуральных чисел,

но вместе с тем иногда оказывались и существенно иными; в част-

ности, здесь имеются простые числа, и любое число разлагается на

простые множители; но разложение это, вообще говоря, неодно-

значно, и именно это обстоятельство создало в арифметике алге-

бранческих чисел новую, своеобразную трудность, совершенно не-

знакомую обычной арифметике натуральных чисел и в нас гоящее

время успешно преодолённую.

У7 Энциклопедия, кн. 1.