ДЕЛИМОСТЬ И ПРОСТЫЕ числл

263

числа, отличный от 1. Очевидно, что р есть простое число; но р

не может совпадать ни с одним из чисел р, , РК, так как

р есть делитель числа Р-{- 1, которое при делении на любое из

., РК даёт в остатке 1 и, следовательно, не делится

чисел ря, р,2, ..

нацело. Таким образом, р есть новое простое число, не входящее

в состав заданной группы, и теорема Евклида доказана.

В вопросе о законах чередования простых чисел в натуральном

ряду можно отметить, повидимому, ещё только один факт, доказы-

вающийся столь же просто, как теорема Евклида: существуют сколь

угодно Длинные участки натурального ряда, вовсе не содержащие

простых чисел и, следовательно, сплошь состоящие из чисел

составных.

В самом деле, если п —любое натуральное число, то в ряду

чисел

п! +2, п! -4-4,

(представляющих собой участок натурального ряда длины п— 1)

не может содержаться ни одного простого числа, так как пН-2

делится на 2, п! 4-3—на З и т. д., наконец, п! + п делится на п,

причём во всех случаях делитель меньше делимого.

Вопрос о распределении простых чисел в натуральном ряду почти

совершенно не был продвинут от Евклида до Эйлера. С целью

подметить какие-либо закономерности в чередовании простых чисел

были составлены таблицы этих чисел, начиная от 2 и до весьма

больших пределов (в настоящее время примерно до десяти миллио-

нов). Изучение этих таблиц показывало, что, продвигаясь в нату-

ральном ряду, мы в среднем встречаем простые числа всё реже

и реже; но это — только в среднем. Уменьшение количества про-

стых чисел происходит чрезвычайно нерегулярно; после значи-

тельных разрежений снова появляются «сгустки», причём до сих

пор не установлена закономерность чередования этих сгустков и

разрежений.

Это придаёт проблеме распределения простых чисел её истори-

чески известную влекущую силу.

Важнейший из результатов Эйлера в этой области является тео-

ретическим обоснованием этого постепенного уменьшения количества

простых чисел во всё более удалённых частях натурального ряда,

с которым мы, как уже было сказано, встречаемся при изучении

таблиц. Условимся обозначать через б (п) число простых чисел, не

превышающих числа п, так что, например, п (10)

и т. д. Тогда отношение п (п)/п (которое, конечно, всегда заклю-

чено между нулём и единицею) можно рассматривать как долю,

как «среднюю плотность» простых чисел в отрезке натурального

ряда от 1 до п. Чем эта дробь меньше, тем меньшая доля нату-

ральных чисел отрезка (1, п) принадлежит множеству простых

чисел.