246

ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА, ГРУППЫ, КОЛЬЦА И ПОЛЯ

З а м е ч а н и е 2. Равенства вида f(z) •

где / (г), g(z), ћ(г)— многочлены от одного неизвестного

с коэффициентами из поля Р 1), сохраняют силу при замене неизве-

стного .г любым элементом х алгебры R над полем Р.

В самом деле, из З) следует, что Далее,

хт • [5 6, (3)l. Отсюда из законов дистрибутивности VI

и из соотношений (1) и З) следует, что

f(x) • Д

Заме ч а ние З. Если алгебра R над полем Р содержит еди-

ницу е (в частности, если R — алгебра с делением), то R изо-

морфна алгебре, содержащей поле Р. В самом деле, из З) и (1)

следует:

але -4- апе (щ -4—09) е,

(0102) (ее) :::.:::::: (0102) е.

(ate) (Ч)

Таким образом, множество Р' всех элементов алгебры R вида ае

изоморфно полю Р (5 9, определение 2). По теореме 2 из S 9

(где коммутативность умножения несущественна) существует

кольцо R', содержащее Р и изоморфное кольцу R. Определим про-

изведение ах' элемента а из Р на элемент х' из R ' как элемент R',

соответствующий произведению ах из R, где х— элемент из R ,

соответствующий элементу М Нетрудно показать, что тогда R

будет алгеброй над полем Р, причём для элемента х' из Р опре-

делённое выше произведение ах' совпадает с произведением эле-

ментов а и заданным в поле р. Поэтому единица поля Р будет

в то же время единицей алгебры R'.

Замеч а ние 4. Алгебра с делением не имеет делителей нуля

(5 7, определение 2). Доказывается это так же, как в случае по-

если ху==0 и з; * 0, то, умножая обе части равенства слева

на x¯l, получим:

Т е о р ем а 1. Любая коммутативная алгебра с Делением R

над полеж Действительных чисел D изоморфна либо полю дей-

ствитеЛЬНЫХ чисел D, либо полю комплексных чисел R и нжеет

ранг 1 или 2. Обратно, любая алгебра с Делением R над ПОЛея

действительных цисел D ранга 1 или 2 изоморфна соответ-

ственно полю Действительных или комплексных чисел и комму-

тативна.

До ка з ат ель ст в о. а) Пусть R — алгебра с делением над по-

лем действительных чисел D, содержащая D, но не совпадающая с D.

Покажем, что для любого элемента х, не входящего в D, су-

ществуют действительные числа а и Ь, где а 7!: 0, такие, что эле-

1) Понятие многочлена и операций сложения и с коэффици-

ептами из некоторого поля Р вполне апалосичпо соответствуютцим понятиям

для многочленов с числовыми коэффициентами. Разница лишь в том, что

коэффициенты многочлеуов будут не числами, а элементами даПН01'0 поля Р.