252

ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА, ГРУППЫ, КОЛЬЦА И ПОЛЯ

получим само поле К, а в примерах 2 и 3 получим алгебры над К,

уже не являющиеся алгебрами с делением. В самом деле, согласно

замечанию 1 любой элемент х алгебры R над К, содержащей К,

является корнем многочлена f(z) с комплексными коэффициентами.

Известно 1), что любой многочлен с комплексными коэффициентами

разлагается на множители первой степени также с комплексными

коэффициентами. Если R — алгебра с делением, то, рассуждая, как

в а), найдём, что х является корнем многочлена первой степени

с комплексными коэффициентами и, следовательно, сам является

комплексным числом. Поэтому R

Итак, если R есть алгебра над полем К ранга, большего единицы

(как в примерах 2 и З), то она не является алгеброй с делением.

Литература

1. А ле кс а н д ров П. С., Введение в общую теорию множеств и функ-

ций, Гостехиздат, М.—Л., 1918.

2. Л у зин Н. Н., Теория функций действительного переменного,

Учпедгиз, М., 1948.

З. Окунев Л. Я., Основы современной алгебры, Учпедгиз, 1941.

4. Ван дер Варден Б. Л., Современная алгебра, ч. 1, Гостехиздат,

1947.

5. Про скур яков И. В., Числа и многочлены, Издательство АГ[Н

РСФСР, 1949.

6. Ш мил т О. Ю., Абстрактная теория групп, Гостехизлат, 1933.

7. Курош А. Г., Теория групп, Гостехиздат, 1914.

8. Ефи мов Н. В., Высшая геометрия, 2-е изд., Гостехиздат, 1949.

О. К о с тин В. И., Основавия геометрии, 2-е изд., Учпелгиз, М.—Л.,

1948.

10. Де дек инд Э., Непрерывность и иррациональные числа, Одесса,

1923.

11. Хин чип А. Я., Восемь лекций по математическому анализу, Гос-

техизлат, 1943.

12. Ку р ош А. Г., Курс высшей алгебры, 2-е изд., Гостехиздат, М.—Л.,

1950.

13. Кузь мин Р. О. и Фаддеев Д. К., Алгебра и арифметика

комплексных чисел, Учпедгиз, 1939.

14. Ч е заро Э., Элементарный учебник алгебраического анализа и исчи-

сления бесконечно малых, ОНТИ, 1936.

1) См. Э. э. м., кн. 2, Л. Я. О кун е в, Кольцо мпогочленов и поле рацио-

нальных функций, гл. 1, S 6.