ГЛАВ А 1

ДЕЛИМОСТЬ И ПРОСТЫЕ ЧИСЛА

S 1. Введение

Значительная часть наиболее актуальных проблем теории целых

чисел от глубокой древности до наших дней прямо или косвенно

связана с понятием делим ости чисел. Причину этого явления

легко понять: из четырёх основных арифметических действий

только деление не всегда выполнимо в области целых чисел, и

поэтому только в отношении деления можно разумным образом

ставить вопрос о том, при каких условиях оно выполнимо.

Уже самые элементарные понятия теории делимости — наибольший

общий делитель, наименьшее общее кратное, взаимно простые

. — не имеют себе никаких

числа, абсолютно простые числа и т. п

аналогов в случае других арифметических действий именно в силу

неограниченной выполнимости этих действий.

С другой стороны, исторический ход развития арифметической

науки показал, что теория делимости чисел, исходя из

и наиболее естественных задач, связанных с этим понятием, неиз-

бежно и очень скоро приходит к образованию новых, более слож-

ных понятиИ и к постановке новы}, более трудных задач. Обще-

известно, как часто здесь возникают задачи, не только содержание,

но и естественность постановки которых понятны и убедительны

даже учащемуся средней школы, между тем как решение их подчас

веками не поддаётся усилиям величайших ученых. Это делает по-

нятным, почему учение о целых числах всегда казалось учёным

неисчерпаемым полем для исследования и во все времена привлекало

к себе внимание наиболее выдающихся умов.

В этих исследованиях русские, а позднее советские научные

школы всегда занимали и до сих пор занимают одно из ведущих

мест. Со времён Эйлера наша Академия наук давала —и даёт до

настоящего времени — блестящие образцы создания как новых

глубоких проблем, так и сильнейших методов их решения. Доста-

точно упомянуть созданную нашим великим Чебышевым замеча-

тельную школу арифметических исследований, равной кот0рой за