248
ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА, ГРУППЫ, КОЛЬЦА И ПОЛЯ
чисел D. Пусть х — любой элемент алгебры R, не входящий в D.
по доказанному в пункте а) существуют действительные числа с, d,
где с О, для которых элемент ] cx—Ed обладает свойством
р 1. Из коммутативности R следует, что откуда
Так как согласно замечанию 4 в R отсутствуют делители нуля,
то либо либо т. е. а потому
с
с
Поэтому х принадлежит Ro, откуда R 0 R.
Итак, алгебра R либо совпадает с D, либо изоморфна полю
комплексных чисел R. Согласно замечанию З любая коммутативная
алгебра с делением над полем действительных чисел изоморфна
некоторой алгебре R (очевидно, также коммутативной и с деле-
нием), т. е. изоморфна либо полю действительных чисел D, либо
полю комплексных чисел R.
в) Пусть алгебра с делением ранга ] над полем
действительных чисел D, содержащим D. Приняв за базисный эле-
мент число 1, получим, что любой элемент х из R имеет вид
• с действительным а, следовательно, R по за-
мечанию З любая алгебра с делением ранга 1 над D изоморфна
полю действительных чисел D-
г) Пусть R — любая алгебра с делением ранга 2 над полем
действительных чисел D, содержащая D. Тогда R D. По дока-
занному в пункте а) в R существует элемент i со свойством
1. Элементы 1, линейно независимы, так как иначе • 1 -1—
4- с действительными ап отличными от нуля (ибо в силу
отсутствия делителей нуля из а, следует О, и обратно).
Тогда
т. е. принадлежит D, что невозможно ввиду
.2
—1 (S 10, теорема 7)- Так как в п-мерном векторном про-
странстве любые п линейно независимых векторов образуют базис 1)
и R — алгебра ранга 2, то элементы 1,
i образуют базис. Таким
образом, любой элемент х из R однозначно представляется в виде
с действительными а и Ь. Если и
—l—di— любые два элемента из R, то из таблицы умножения эле-
ментов легко находим:
ху (ас — bd) -1- (ad -1- bc) 1.
Итак, алгебра R изоморфна полю комплексных чисел К. По
замечанию З любая алгебра с делением ранга 2 над полом
1) См. Э. э. м., кн. 2, А. И. У з ков, Векторные пространства и линей-
ные преобразования.