944

понятия мнОЖНСТВд, ГРУППЫ, КОЛЬЦА И

—i) находим значения всех

ных констант в данном базисе:

спе —

1 сям

С'2'22

поля

структур-

о;

Сеп

К— коммутативная алгебра с делением.

Пример З. Тело кватернионов. Существует ещё одна

алгебра с делением над полем действительных чисел D и приком

ранга 4. Это — алгебра кватернионов Q.

Будем считать, что Q содержит поле действительных чисел D.

Приняв за первый элемент базиса число 1 и обозначив остальные

его элементы через i, ј, К, находим, что любой кватернион q един-

ственным образом представляется в виде

(5)

где а, Ь, с, d — действительные числа. Для полного описания алгебры

достаточно задать таблицу умножения базисных элементов. Мы

положим:

Кроме того, число

нии, т. е. 1 •

Таким образом,

1,

1 обладает обычным свойством при умноже-

т. е. алгебра Q некоммутативна.

Остается проверить ассоциативность умножения базисных эле-

ментов (4). Так как соотношения (6) симметричны относительно

Е, ј, К, то достаточно проверить равенства, в которых совпадают

все три элемента, или два элемента, или все элементы различны,

т. е. равенства

(ji) i (ii),

Проверку этих равенств предоставляем читателю.

Покажем, что алгебра Q является телом. Из того, что 1 обла-

дает обычным свойством при умножении на элементы базиса, при-

меняя свойства 2) и 6) и выражение (б) для кватернионов q, полу-

чим: 1 • • 1 для любого q, т. е. число играет роль

единицы кольца Q.

Кватернион

а — bi — с] — (И