ПОЛЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ

то

Каждое произведение ер, в

базис в виде

243

(2)

силу 5) линейно выражается через

(3)

— элементы поля Р, однозначно определяющие произ-

где сик

ведения qej.

Условиями (2) и (З) произведение любых элементов из R вполне

определено, причём законы дистрибутивности VI' будут автомати-

чески выполнены. Для выполнения закона ассоциативности умноже-

ния для любых элементов из R достаточно потребовать его выпол-

нение для элементов базиса. Это даёт условия

(ерј) ек ei (ев)

(4)

Вычисляя здесь произведение элемен гов базиса согласно (З), мы

получаем условия, связывающие элементы Ci]h, при выполнении кото-

рых в R справедлив закон ассоциативности умножения. Таким образом,

алгебры ранга п над полем Р шюлне определяются заданием поля Р

п) из поля Р, уло-

ранга п и элементов с„.к (Е, ј, К 2, ... ,

влетворяющих условиям (К) и (4), где ел, ев,

еп— данный базис

пространства R; элементов сик поля Р называются структур-

ныяи константами или постоянными умножения данной алгебры R-

Приведём простейшие примеры алгебр.

П р и мер 1. Поле действительных чисел D является одномер-

ным векторным пространством над тем же полем D с базисным

элементом 1. Считая произведение ах вектора х на числа а совпа-

дающим с обычным произведением чисел а и х, получим алгебру

ранга 1 над полем D. При базисном элементе 1 единственная

1. Если за базисный элемент принять

структурная константа сти

любое число а (), то из • а следует, что новая структур-

ная константа будет: с: 11 Очевидно, что D — алгебра с деле-

нием и притом коммутативная.

П р и ме р 2. Поле комплексных чисел К является двумерным

векторным пространством над полем действительных чисел D с бази-

i, так как любое комплексное число

сом из двух элементов 1,

представляется в виде а. 1 -4-bi с действительными а и Ь. Считая

произведение ах вектора х на действительное число а совпадаю-

щим с обычным произведением а и х, получим алгебру ранга

2 над D. Из правил умножения базисных элементов (1 •