при неограннинноя возрастании п.

Для доказательства заметим, что д„чя

1

Поэтому

1

264

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ

Т е о р е ма Э й л е р а. При неограниченнол возрастании числа п

Это означает, что во всех достаточно больших начальных

отрезках натурального ряда подавляющее большинство чисел будет

составным, и лишь ничтожная доля будет входить в совокупность

простых чисел.

Чтобы доказать эту теорему Эйлера, нам понадобится предвари-

тельно установить следующее вспомогательное предложение:

Лемма. Пусть Р], ...

означают простые числа, располо-

женные в порядке возрастания (так что и т. д.).

Тогда

tin —

любого К

Все п множителей правой части представляют собой абсолютно схо-

дящиеся ряды, которые, как известно 1), можно перемножать

почленно как конечные суммы. Общий

иметь вид

pawaz рап

где а], а,2, ап—любые числа ряда О,

мы можем написать:

член произведения будет

Таким образом,

2

• • рап

2

где суммирование производится (в любом порядке) по всем комби-

, ап. Но в виде ратая

нациям чисел Ч, .

. рап, при надле-

жащем выборе чисел Ч, может быть, очевидно, представлено любое

1) См. Э. э. м. кн. З, Дифференциальное и исчисление.