216

понятия МНОЖЕСТВА,

ГРУППЫ,

кольца и поля

f(x) равна соответственно

для любого числа х из Х (в случае частного предполагается, что

Л для любого х из Х).

Из теоремы 1 и свойств предела [S 24, теорема 2, б), в), г)]

непосредственно следует

Т е о р е ма 2. Сумма, разность и произведение двух функций Л

и Л, непрерывных на множестве Х, также непрерывны на мно-

тсестве Х. Частное функций Л и Л, непрерывных на множестве Х,

есть функция, непрерывная на яноэюестве Х ' тех чисел х из Х,

для которых Л (х) 4: О.

Рассмотрим примеры непрерывных функций.

Пример 1. Функция для любого целого числа

определена и непрерывна на множестве всех действительных чисел.

В самом деле, при К функция при любом х и непре-

рывна как любая константа, ибо f(x) —f(xo)

очевидно,

непрерывна и функция Применяя теорему 2, легко дока-

зать непрерывность функции „мк индукцией по К.

Пример 2. Из примера 1 и теоремы З индукцией по числу

членов получаем непрерывность на множестве всех действительных

чисел функции, заданной многочленом апхп

а п. Отсюда опять

с действительными коэффициентами ао, 01, ...

по теореме 2 получается непрерывность функции, заданной на мно-

жестве Х всех чисел х, для которых д (х) # О, дробью

д(х) '

где f(x) и д (х) — многочлены с действительными коэффициентами. Са-

ми эти функции называются многочленами или целыми рациональными

функциями и, соответственно, дробными рациональными функциями.

При мер З. Функпии sinx и cosx непрерывны на множестве

всех действительных чисел. Функция tgx непрерывна во всех точ-

ках, где она определена, т. е. где cosx# О. Функция ctgx непре-

рывна во всех точках, где sin х # О. Чтобы доказать это, надо

дать точное определение указанных функций. Любой угол а как

геометрическая фигура определяет дугу круга радиуса 1. Так как

поле действительных чисел непрерывно, то в нём существует число х,

равное длине данной дуги. Это число х называется радианной же-

рой угла а. Обратно, для данного числа х можно построить дугу

длины х, а для неё — центральный угол а. Тогда угол а будет иметь

радианную меру х. Если ввести углы, ббльшие 3600, и отрицатель-

ные углы, как это обычно делается, то можно установить взаимно

однозначное соответствие между всеми действительными числами

и всеми углами, при котором числу х соответствует угол а с ра-

дианной мерой х. Поэтому обычно под углом и понимают не гео-

метрическую фигуру, а число, равное радианной мере угла. Тогда

sinx определяется как функция, сопоставляющая с любым действи-