234

понятия

комплексные числа

Именно, для числа

отрезок ОА длины

мноЯ<Ествх, ГРУППЫ, КОЛЬЦА И ПОТЯ

можно изобразить точками плоскости Оху.

bi откладываем на Ох от точки О

lal и притом шлраво, если и влево,

если На прямой Оу откладываем отрезок ОВ длины ! Ь

и притом вверх, если и вниз, если Через точку А

проводим прямую, параллельную Оу, а через В — прямую, параллель-

ную Ох. Точка Z пересечения этих прямых и принимается за изо-

бражение числа г. Легко убедиться, что любая точка нашей пло-

скости является изображением некоторого комплексного числа и

что данное соответствие между комплексными числами и точками

плоскости Оху взаимно однозначно. Очевидно, что при этом

число —l—bi изображается точкой Z (а, Ь) с прямоугольными

декартовыми координатами а и Ь.

Действительные числа и только они изображаются точками пря-

мой Ох. Числа вида bi, называемые чисто жнилыяи, и только они

изображаются точками прямой Оу. Поэтому прямая Ох называется

Действительной, а Оу—лнилоп осью. Направления вправо по Ох

и вверх по Оу называются положительными, а влево по Ох и

вниз по Оу — отрицательными. Точка О называется началом ко-

ординат, а прямые Ох и Оу— осяян координат.

Во всём дальнейшем мы не будем непосредственно опираться на

геометрическое представление комплексных чисел для доказательства

каких-либо их свойств; мы будем, однако, прибегать к геометриче-

скому представлению для придания наглядности этим свойствам.

Тригонометрическая форма комплесного числа.

О п р е д ел е н и е. Тригонометрической форлой комплексного

числа z называется его запись в виде

(cos а 4- i sin а),

где r и а— числа Действительные, причёл Число r назы-

воется лоДулея, а а— аргулентол комплиссного числа г.

Т е о р е ма 1. Любое комплексное число ложно записать в

тригоноле1прнческой форме. При этол модуль определён одно-

значно и равен нулю тогда н только тогда, когда а аргу-

лент для „ножет бЫ1,чь произвольным числом, а для z О

определён с точностью до слагаемого, кратного 2тс.

Доказательство. Если то 0 • (cosu*-isi.n а) при лю-

бом а будет тригонометрической формой числа г. Обратно, если

r (cosa-[-i sin то из sin2a следует, что cosa-[-

-1— i sin а О и, следовательно, О. Этим все утверждения теоремы,

касающиеся случая доказаны.

Пусть 0. Тогда числа а и Ь не равны нулю одно-

временно и В поле действительных чисел у/а' 4- b2

имеет два значения: положительное и отрицательное (S 26, теорема 4).

Пусть r— положительное значение этого корня. Так как a2