ГЛАВА VIl

ПОЛЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ

S 28. Определение поля комплексных чисел

Уже в древности при решении задач, выражаемых на современ-

ном языке квадратными уравнениями, встречались случаи, связанные

с комплексными корнями уравнении. В таких случаях считали задачу

неразрешимой. Однако решение в радикалах кубичного уравнения,

найденное итальянскими математиками в первой половине XVl в.,

приводило к выражению действительных корней уравнения с дей-

ствительными коэффициентами через квадратные корни из отрица-

тельных чисел. Это заставило математиков того времени опериро-

вать новыми числами, которые назывались «мнимыми», «невозмож-

ными», «воображаемыми» и т. д., применяя для них те же правила

действий, которым подчинялись действительные числа. Однако смысл

новых чисел оставался неясным, что и нашло своё отражение в тер-

минологии. Так“ Кардан называет новые: числа «ложными, поистине

софистическими» числами. Первое формальное обоснование• действий

с комплексными числами дано в «алгебре» итальянскогозматематика

Бомбелли (1572). Однако наглядное геометрическоеч изображение

этих чисел (как точек или векторов на плоскости) , было дано

только в начале XlX в. 1).

После этого изучение комплексных чисел пошло очень быстро,

и в настоящее время теория функций комплексного переменного

является основной частью математического анализа. Эта теория на-

ходит приложение в самых разнообразных областях науки, напри-

мер в аэродинамике. Свойства комплексных чисел столь же хорошо

обоснованы как, скажем, свойства чисел рациональных или действи-

тельных.

В поле действительных чисел операция извлечения корня не

всегда выполнима. Именно, корень чётной степени из отрицатель-

1) Впервые геометрическое изображение действий пад комплексными чи-

слами было дано датским землемером К. Бесселем в 1799 г. и независимо от

него французским математиком Аргандом в 1805 г. Однако общее признание

оно получило лишь после нового обоснования, дапного Гауссом в 1831

15$