ПОЛЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

221

рого sin Ь Для доказательства единствешюсти числа Ь восполь-

зуемся свойством функции sinx возрастать с ростом угла от нуля

Это известно из тригонометрии и доказывается так: если

до

то большему углу соответствует и ббльшая дуга,

но и для таких дуг ббльшая дуга стягивается

большей хордой. Половина хорды, стягивающей дугу длины 2х,

является линией синусов угла х. Отсюда ясно, что sinxl

то при b

Если теперь b' Ь — другое число отрезка 0,

Т

будет: sin b

тельно, sin b' а.

Рассмотрим в заключение этого параграфа некоторые свойства

поля действи тельных чисел как непрерывно расположенного поля.

Т е о р ем а 6. Поле Действительных ЦИСзел D лотсет быть рас-

положено лишь однил способом (при сохранении операций сложе-

ния и умножения) и Допускает лить одно изоморфное (относи-

тельно сложении и умножения) отображение в себя, а именно,

тоэюДественное отображение на самого себя.

До к а зат ель ст во. Пусть П— поле действительных чисел,

расположенное обычным образом (5 25, определение 2 и ниже), и

D' — поле, совпадающее с D по составу элементов и по операциям

сложения и умножения, но расположенное произвольным образом.

Из совпадения сложения следует, что нуль поля D будет нулём и

в П. Далее, если в D, то по теореме 4 существует число Ь

такое, что в [Э, а по совпадению умножения— и в D'. Так

как D' — расположенное поле, то его элемент а как квадрат эле-

мента Ь положителен (5 10, теорема 7), ибо а 0, т. е. в D'.

Если в D, то —а>0 в D, а поэтому и в D', т. е.

также в D'. Отсюда следует, что если в D', то в D,

ибо исключено, что 0 в D. Таким образом, а тогда и только тогда

положительно в D', когда оно положительно в D, т. е. расположен-

ное поле D' совпадает с D; поле D допускает лишь одно распо-

ложение.

Пусть — любое изоморфное (относительно сложения и

умножения) отображение поля действительных чисел D на некото-

рое его подполе Р. Если число то где Ь 0. В силу

свойств изоморфизма тогда

т. е. при изоморфизме положительное число переходит в поло-

жительное.

Между двумя различными действительными числами а и Ь все-

гда лежит рациональное число с.