ПОЛЕ КОМПЛЕКСНЫХ

честве подполя и отображающееся на Ко

число а из D отображается при этом на

(а, О) из D' (S 9, теорема 2).

ЧИСЕЛ

233

изоморфно так. что каждое

соответствующую ему пару

Т е о р е м а 5. Поле К является полеж комплексных чисел.

Доказательство. По построению поле К содержит поле D.

Далее, поле К содержит пару (0, 1). Обозначим эту пару через i,

: 1 поле Ко мы имеем:

т. е. положим

Но при построенном выше изоморфном отображении Ко на К эле-

—1 из К. Следовательно,

— 1, 0) из К соответствует число

менту (

1. Итак, поле К обладает свойством 1)

в К должно быть i

из определения 1.

Остаётся доказать минимальность поля К. По теореме для

этого достаточно показать, что любой элемент х из К представим

в виде с действительными а и Ь. Пусть при упомянутом

изоморфизме К и Ко элементу х из К соответствует пара (а, Ь)

из Ко. Легко проверить справедливость равенства

в Ко. Отсюда в силу напето изоморфизма между Ко и К находим:

bi. Теорема доказана.

S 29. Свойства комплексных чисел 1)

Поле комплексных чисел обладает всеми свойствами колец и

полей, рассмотренными в SS 7, 8.

Так как поле комплексных чисел содержит поле рациональных

чисел, то его характеристика равна нулю.

Так как в любом расположенном поле

для любого элемента а (S 10, теоре-

ма 7), а в поле комплексных чисел

то поле комплексных чисел не может быть

расположено.

Геометрическое представление комплекс-

ных чисел. Возьмём на плоскости две взаим-

но перпендикулярные прямые — горизонталь-

ную Ох и вертикальную Оу, — пересекающиеся

в точке О (рис. 2). Далее, выберем неко-

Рис. 2

торый отрезок MN за единицу измерения отрезков. Тогда все

1) Здесь мы остановимся лишь на обосновании элементарных свойств

комплексных чисел. Читателю, желающему ознакомиться с другими интерес-

ными свойствами этих чисел (например, с теорией делимости так называе-

мых целых комплексных чисел), рекомендуем книгу Р- О. Кузьмина и

Д. К. Фаддеева [13].