ПОЛЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ

237

Доказа тель ст во. Частное, как и любое комплексное число,

можно записать в тригонометрической форме. Пусть эта запись

будет: (cos ао —Ei sin ао). по определению частного тогда

(cos Ч) (cos —b-i sin ав) • (cos ао -4— i sin ао)

r,zro [cos (ая -4- ао) —Е i sin —l- ао)],

откуда, включая в а слагаемое, кратное 26, находим: rl

(11 т. е. о

а — а, —а2, чем теорема доказана.

При совпадении сомножителей из теоремы 2 получается так на-

зываемая формула Муавра

[r (cos а —l-i sin (cos па —[- i па).

(4)

Теперь легко решается вопрос об извлечении корня из комплекс-

ного числа.

Т е о р е ма 4. Пусть г — комплексное п -— натуральное число.

В поле комплексных чисел илеет при е()инственное зна-

чение О, а при г 0 имеет п различных значений. Если

(cos а 4- i sin а),

то эти значения находятся по формуле

-4- i sin

Доказательство. и из в силу отсутствия

делителей нуля в полс К (S 8, теорема 1) следует х Таким

образом, при z единственное значение есть О.

Пусть

(cos а —l-i sin а) О.

Тогда и аргумент а определён с точностью до кратного

Предположим, что имеет значение х в поле комплексных

чисел. Это означает, что По теореме 1 число х можно

записать в тригонометрической форме:

(cos а' i sin а'), r' О.

Тогда по формуле Муавра (4) находим:

откуда

7' (cos па' i sin па') (cosa sin а),

а -1- 2h7t