210
ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА, ГРУППЫ, КОЛЫО И ПОЛЯ
О. Но это невозможно,
при любом п>р. Это значит, что lim ап
так как { ап принадлежит классу и
Без ограничения общности можно считать ап 0 при любом п.
В самом деле, в силу при любом лишь конеч-
ное число членов ап (при п п!) может равняться нулю. Заменяя
их любыми рациональными числами, отличными от нуля, получим,
очевидно, последовательность, эквивалентную { ап },
т. е. принадле-
жащую классу и и не имеющую членов, равных нулю.
является фунда-
Покажем, что последовательность с
ментальной. Последовательность { Ьп } как фундаментальная ограни-
чена, т. е. существует рациональное число Ь такое, что lbnl
любом п. Пусть дано рациональное Так как ап} и }
фундаментальны, то существуют натуральные п, и такие, что
аз
при любых р, и 2 при любых
наибольшее из чисел п1, п, и из. Тогда
ч >пз. Пусть по—
aqbq
арЬр —
bpaq — арЬр +
bpaq — apbq
apaq
apaq
apaq
2
+ lbp¯bql
laql
при любых р, q>no; таким образом, последовательность {.сп
действительно фундаментальна.
—1 Ьп} сле-
Пусть т—класс, содержащий { сп Из R an •
дует чем свойство доказано.
Свойство VIII выполнено, ибо ГЛ содержит, очевидно, более
одного элемента.
Докажем выполнение в свойства [Х. Надо показать, что для
любого класса а имеет место один и только один из трёх случаев: а по-
—и положителен, Пусть ни и, ни —и не по-
ложителен,
ложительны. Борем последовательность ап } класса и и рациональное
число О. В силу фундаментальности ап} существует по такое,
что lap— а ч 2 при любых р, q>no. Так как и не положителен,
то существует r>no такое, что а,. . Так как —ине положителен
{— ап}, то существует s>no такое,
и содержит последовательность
что —as< - . Тогда при любом п>по будет одновременно
а
и
— а, + (ап — ar) аг -1—
(as — а п) — as as — ап ( — as) е.