218

ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА, группы, КОЛЬЦА И ПОЛЯ

Непрерывность cosx доказывае тся аналогично или проще выво-

дится из соотношения cos sin

х . Из непрерывности синуса

и косинуса по теореме 2 следует непрерывность тангенса и коз

тангенса во всех точках х, где они определены.

Из этих примеров видно, насколько широким является класс

непрерывных функций. Для всех таких функций мы докажем сле-

дующее предложение.

Теорема З. (Теорема о промежуточном значении.)

Пусть / (х) — функция, заданная и непрерывная на отрезке [а, Ь]

(т. е. на множестве действительных чисел х, для которых а Ь,

см. конец S 1). Пусть, Далее, f(a)==a и Тогда для лю-

бого числа Т, принадлежащего отрезку [а, [3] (при а Р) или

отрезку [9, а] (при а), существует число с отрезка [а, Ь] та-

кое, что f(c) Т. Иными словами, функция, заданная и непрерыв-

ная на некотором отрезке, принижает на этом отрезке все

значения, промежуточные по отношению ус её значениям в кон-

цах отрезка.

Доказательство. Если то и можно по-

ложить: или Пусть сх<Р (в случае доказательство

аналогично). Если р, то можно положить: с Итак, пусть

а < Т Применим весьма распространённый метод деления от-

резка пополам. Строим две последовательности действительных чисел

ап} и bn }, принадлежащие отрезку [а, Ь] и обладающие свой-

ствами

(3)

(4)

(5)

для любого натурального числа п.

Положим: ат е: а, b1 Если уже определены числа ап и bn

также принадлежит отрезку [а, Ь],

отрезка [а, Ь], то число

2

и значит, для этого числа функция f определена. Если

д—

2)

и Если же

2

то положим: апн ¯

то положим:

И b1i+1

а

2

Этими свойствами последовательностА1 { ап} и { Ьп } однозначно опре-