228

ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА, ГРУППЫ, КОЛЬПЛ И ПОЛЯ

ного числа не имеет действительных значений, т. е. при действи-

тельном а и чётном натуральном п не существует действи-

тельного Ь, для которого ЬП—а (S 26, теорема 4). Следуя общему

плану расширения числовых областей, намеченному в S 18, мы рас-

ширим теперь поле действительных чисел D до поля комплексных

чисел К, в котором операция извлечения корня уже всегда выпол-

нима. При этом получается существенно новый результат и для тех

случаев, когда эта операция была выполнима в поле D. Именно,

в новом поле К а при любом а * 0 и любом натуральном п будет

иметь ровно п значений 1).

Как мы увидим, достаточно расширить поле D до такого поля,

где имеет хотя бы одно значениё, т. е. существует элемент

i, для которого i2 1. Мы будем искать минимальное расшире-

ние такого рода в смысле следующего определения:

О пределен ие 1. Полем колплсчссных чисел называется ми-

нилальное поле К, содержащее поле Действительных чисел D и

элемент i со свойствол 1, т. е. лножество К, обладающее

следующилн свойстзали:

1) К является полем, содержащим в качестве подполя поле

Действительных чисел D и элемент i со свойством i2 —

2) Поле К не содержит никакого подполя, отличного от него

самого и обладающего теми же свойствами. Элементы поля К

называются колплеКСНЫЛШ числами.

Сначала докажем единственность (как всегда, с точностью до

изоморфизма) определённого таким образом поля К.

Т е ор е ма 1. Поле К, содержащее поле оействительных чисел

D 2) и элемент i со свойством i2—— 1, будет япнилтльны.и (т. е.

полеж колплеКСНЫ.Х чисел) тогда н тюлько тогда, когда каждый

элемент х из К можно представить в виде

(1)

где а и Ь— Действительные числа. Пр этюж тшсое представле-

ние единственно, т. е. для Данного элемента х из К существует

лишь одна пара Действительных чисел а, Ь (взятых в данном по-

рядке), удовлејпворяющих равенству (1).

1) Значения являются, очевидно, корнями уравнения

Уравнения такого вида называются Двучленными. Таким образом, в поле

комплексных чисел К разрешимы все двучленные уравнения. Справедливо

более сильное утверждение, что в поле К разрешимы все алгебраические

уравнения, т. е. уравнения вида где f(x) — любой многочлен сте-

пени п с любыми комплексными коэффициентами. Доказательство этой

теоремы см. Э. э. м., к:шга 2, JL Я. О кун ев, кольцо многочленов и поле

рациональных функций, гл. 1, S 6.

2) Как всегда, говоря, что одно поле содержит друтос, мы подразуме-

ваем, что операции в меньшем ноле совпадают с ОДНОИМёННЫМИ операциями

в большем поле.