ПОЛЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

215

Т е оре ма 1. Функция f, заданная на множестве Х, тогда и

только тогда непрерывна в точке Хо из Х, когда из lim

П со

следует lim f(xn) для любой последовательности { }

лнолсества Х. Функция / (х) тогда и только тогда непрерывна на

лнотсестве Х, если ив lim следует для

п —ъсо

побого числа хо ид Х и любой последовательности {xn} чисел

множестза Х.

До к а эа т ел ь ст во. Достаточно, очевидно, доказать часть тео-

ремы, относящуюся к непрерывности в точке.

а) Пусть f(x) непрерывна в точке хо и Берем лю-

бое число По определению непрерывности существует число

такое, что из следует lf(x) для

любого х из Х. По определению предела (S 24, определение З)

для этого числа существует натуральное число по такое, что

при любом п>по. по выбору числа д отсюда следует,

что : f(xr,) —f (Хо) Е при любом п >no. IIo определению предела это

значит, что

f (хв) (Хо).

п со

б) Пусть для любой последовательности { хп }

П со

из Х. Если функция f(x) не является непрерывной в точке Хо, то

существует число е для которого нельзя найти числа Г с тре-

буемым в определении 2 свойством. Иными словами, при выбран-

ном таким образом Е для любого числа существует число х

множества Х такое, что lx—xo д, но [Го-

этому для любого натурального числа п существует число хл из Х

такое. что

при любом п.

(1)

(2)

Так как поле действительных чисел по определению архиме-

довски расположено (S 25, определение 1), то для любого действи-

тельного числа существует натуральное из (1)

находим хп—хо при любом п>по, т. е. lim

по условию тогда • также limf(xn) что, очевидно, про-

тиворечит (2). Таким образом, / (х) непрерывна в точке Хо.

Определим сумму, разность, произведение и частное двух фун-

кций (х) и Л (х), заданных на множестве Х, как функцию, сопо-

ставляющую с каждым числом х из Х соответственно сумму, разность,

произведение и частное значений данных функций в точке х, т.