223

ПОЛЕ ДЕЙСТВИТЕ ЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

ласть определялась через старую при помощи наложения дополни-

тельных требований, обеспечивающих однозначное до изоморфизма

определение новой области. Каждый раз мы строили интерпрета-

цию (конкретный пример) определяемой области. Ввиду изоморфиз-

ма всех множеств, удовлетворяющих данному определению, мы мог-

ли бы в каждом случае саму интерпретацию принять за определе-

ние данной области. Такое определение числовых областей назы-

вается конструктивным. Возникает вопрос, можно ли определить

каждую из упомянутых областей аксиоматически?

Расширяя числовую область, мы каждый раз налагали новые

требования (возможность вычитания, деления и, наконец, непре-

рывность) при условии минимальности расширения. В отношении

действительных чисел требование минимальности оказалось уже из-

лишним. Это означает, что совокупность свойств, предъявленных

ко множеству действительных чисел, характеризует это множе-

ство однозначно до изоморфизма. Тем самым эта совокупность

свойств даёт аксиоматическое определение действительных чисел. Та-

ким образом, определение действительных чисел как непрерывного

расположенного поля является их аксиоматическим определением.

Собирая вместе все свойства, включённые в это понятие, приходим

к такому определению.

О пр ед е л е н и е. Полеж ДеЙС1пвптельных чисел называется

непустое жножество D, в котором двум ЛЮбЫЯ элементан а н

Ь соответствуют элемент а + Ь, называелшй их суммой, и эле-

яент ab, называемый их произведениея, и определено свойство

элемента быть положительным, причём выполнены услоВия:

1. (Коммутативность сложения.)

II. (Ассоциативность

IH. (О бр а ти мост ь сложен и я.) Для любых элементов а и Ь

множества D существует элелснт с из D такой, что а + с

IV. (Коммутативность умножени я.)

(ab) с.

V. (Ассоциативность умножения.) a(bc)

VI. (Дистрибутивность умножения относительно

слож е н и я.) (а -1— Ь) —1— bc.

Эти свойства означают, что D есть кольцо. Стало быть, опреде-

лено умножение элементов D на натуральные числа; существует

единственный элемент 0 такой, что для любого

а из D; для данного а существует единственный противоположный

для данных а

— а такой, что а

элемент

и Ь существует единственный элемент Ь— а, называемый их раз-

ностью, такой, что а —

Далее:

VII. (Обратимость умножени я.) Для любых элементов

а и Ь яножества D, где а # О, существует элемент q из D гпа-

кой, что aq Ь.