272

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ

сравнений оказались таким формальным инструментом, овладение ко-

торым оказывает заметную помощь при решении почти любых задач

теории чисел, какими бы содержательно-определёнными методами

мы нал этими задачами ни работали. Можно поэтому без преувели-

чения считать теорию сравнений (едва ли не единственным) уни-

версальным методом теории чисел, понимая под этим именно то,

что основные положения и ПРИёМЫ этой теории могут оказать суще-

ственную, хотя и чисто формальную помощь почти во всех обла-

стях арифметической науки. Без овладения элементами этой теории

работа в любой области теории чисел была бы в известной мере

обречена на отсталый, «кустарный» научный стиль. Однако не надо

вместе с тем и преувеличивать значения теории сравнений: даже

самое поаное овладение ее методом вооружает исследователя только

технически, не давая ему ещё почти цикаких руководйщих идей.

В этой главе мы дадим краткий по необходимости очерк основ-

ных положений теории сравнений и её простейших приложений.

Непревзойдённое по полноте и глубине изложение этой теории

читатель может найти в классическом труде П. Л. Чебышева «Теория

сравнении» 1).

S 5. Сравнения и их основные свойства

Идея сравнения имеет своим основанием то простое замечание,

что два числа а и Ь, дающих при делении на натуральное число т

один и тот же остаток, в вопросах делимости обнаруживают по

отношению к числу ш целый ряд одинаковых свойств. Самое важ-

ное из этих свойств состоит в том, что всякий общий делитель

чисел а и т будет вместе с тем и общим делителем чисел Ь и т,

и обратно. В частности, наибольший общий делитель (а, т) чисел а

и ш совпадает с наибольшим общим делителем (Ь, т) чисел Ь и т.

В самом деле, если, как предположено, а и Ь дают при делении

на т один и тот же остаток r, то

так что разность

делится на т. Отсюда

а — qm;

эти соотношения и показывают

делитель чисел т и Ь является

и обратно.

1) П. Л. Чебышев, Полное

Издательство АН СССР, 1941,

непосредственно, что всякий общий

вместе с тем и делителем числа а,

собрание сочинений, т. 1, Теория чисел,