276

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ

а' — b' должна делиться на т? На этот вопрос отвечает нам тео-

рема 2 главы 1: это будет всегда, если числа d и т взаимно просты.

Отсюда следует важное правило: обе части сравнения всегда ложно

разделить на одно н то же число, взаимно простое с модулем.

Напротив, если число d не взаимно просто с модулем т, то деле-

ние обеих частей сравнения на d, вообще говоря, невозможно, как

этому ушт вышеприведённый пример, где деление привело к невер-

ному результату именно потому, что мы делили на число 9, не

взаимно простое с модулем 6.

Обнаруженное нами различие в поведении сравнений и равенств

имеет своей причиной то весьма важное обстоятельство, что сравне-

ния, вообще говоря, не подчиняются одному из основных принципов

теории равенств: если произведение двух чисел равно нулю, то по

„иеньшей мере один из сомножителей также равен нулю. В теории

сравнений аналогичный принцип, очевидно, гласил бы: если произве-

дение двух чисел сравнимо с нулём по модулю т, то по меньшей

мере один из сомножителей также сравним с нулём по модулю т.

Но сравнимость с нулём по модулю т есть не что иное, как дели-

мость на т; поэтому наш принцип гласил бы: если произведение

двух чисел делится на т, то по меньшей мере один из сомножи-

телей должен делиться на т. Это же, вообще говоря, неверно:

4 Х делится на 6, между тем как ни 4, ни 15 на 6 не де-

лятся. Именно незаконное применение этого принципа, как легко

видеть, и привело нас в нашем предыдущем примере к неправиль-

ному результату.

Однако теорема З главы учит нас, что есть один случай, когда

этот принцип все же оказывается верным: если модуль р есть про-

стое число, то из делимости на р произведения двух чисел обяза-

тельно вытекает делимость на р по меньшей мере одного из со-

множителей. Этот замечательный факт имеет своим следствием

то, что сравнения по простому модулю в значительно большей

степени аналогичны равенствам, нежели сравнения по МОДУЛЮ

составному.

В частности, в известном смысле можно сказать, что вопрос

о возможности деления обеих частей сравнения на одно и то же

число в случае простого модуля решается в точности так же, как

для равенств. В самом деле, выше мы убедились, что обе части

сравнения всегда можно делить на одно и то же число d, взаимно

простое с модулем т; но если т есть число простое, то «быть

взаимно простым с т» означает просто «не делиться на т», или,

что то же, «не быть сравнимым с нулём по модулю т». Таким

образом, в случае простого модуля запрещается делить обе части

сравнения лишь на такие числа, которые сравнимы с нулём по

данному модулю. Но числам, сравнимым с нулём по данному модулю,

в теории равенств по аналогии соответствует обыкновенный нуль,

деление на который ведь также запрещается. Таким образом, мы