274

откуда

и следовательно,

Далее,

аа' — bb' —

и следовательно,

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСРЛ

(mod т).

— а (а' — b') -4— b' (а — Ь) (aq' -1— b'q) т,

bb' (mod т),

что и требовалось доказать.

Примеча ни е. В частности, к обеим частям сравнения можно

прибавить одно и то же число, и обе части сравнения можно умно-

жить на одно и то же число.

Мы доказали теорему 1 в предположении двух сравнений.

Однако, разумеется, она автоматически распространяется от двух

на три, от трёх на четыре и вообще от п на сравнений, так

что в силу принципа полной индукции мы можем считать её уста-

новленной для любого числа сравнений-

Следствие. Если

az=b (mod т),

— bh (mod т),

а

где К— любое натуральное число или нуль.

(2)

Для доказательства достаточно почленно перемножить К тожде-

ственных между собою сравнений (2).

Комбинируя друг с другом полученные нами до сих пор резуль-

таты, мы, очевидно, приходим к следующему важному выводу:

Т е о рема 2. Пусть Р (х) — любой многочлен с целыми каэф-

фициента.ми. Тогда из

(mod т)

следует:

Р (х) —4) (у) (mod т).

Это предложение представляет большой интерес и для школь-

ного курса арифметики, так как оно служит теоретическим осно-

ванием для вывода наиболее важных признаков делимости. Если

в десятичной системе число п изображается, считая слева направо,

К, то

цифрами а, Ь, с, ... ,

Но

10

105-1-1- с . 108-2-4- + К.

1 (mod З) и (mod 9);