МЕТОД СРАВНЕНИЙ

делящихся на р) на х, мы приходим к сравнению

(mod р),

289

которое, конечно, также выполняется для всех упомянутых зна-

чений х; но оно тривиальным образом выполняется и для значений х,

делящихся на р. Таким образом,

.ХР—х (modp)

есть тождественное сравнение, выполняющееся для любого целого

числа; иначе говоря, число .хР—х при любом целом х делится на р.

Из этого, прежде всего, вытекает возможность при исследовании

алгебраических сравнений по простому модулю р ограничиться

сравнениями, степень которых не превосходит р— 1. В самом деле,

если Р (х) есть любой многочлен степени с целыми коэффи-

циентами, то при делении его на хР—х частное Q(x) и остаток

R (х) также будут многочленами с целыми коэффициентами. Мы

будем при этом иметь:

и степень многочлена R(x) не превосходит р— 1. Так как

(mod р) тождественно, то всякое решение сравнения

Р (mod р)

будет также удовлетворять сравнению

R (mod р),

и обратно. Таким образом, при исследовании решений каждое сравне-

ние * р действительно может быть заменено равносильным

ему сравнением степени причём новое сравнение находится по

данному с помощью весьма элементарных алгебраических операций.

Итак, пусть

Р (modp)

(16)

— сравнение степени п Последний вопрос, который мы рас-

смотрим, состоит в том, как узнать, будет ли число решений этого

сравнения равно п или меньше п (больше п оно, как мы уже знаем,

быть не может).

Прежде всего мы можем, не ограничивая общности нашей

задачи, допустить, что коэффициент при .хп в многочлене Р (х)

равен 1. В самом деле, этот коэффициент ао во всяком случае не

делится на р; поэтому теория сравнений первой степени гарантирует

нам существование такого числа а, что апа 1 (mod р). Заменяя

тогда сравнение (16) равносильным ему сравнением

(mod р),

мы получим при коэффициент аоа, который сравним с единицей

по модулю р и просто может быть заменен единицей.

19 Энциклопедщя, к.н. 1.