270

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ

около знаменитой проблемы Гольдбаха. Уже давно было замечено,

что чётные числа, начиная с 4, повидимому, могут все быть пред-

ставлены в виде суммы двух простых чисел

и т. д.), а следовательно, нечёт-

ные числа — в виде суммы трёх простых чисел. Проблема Гольдбаха

состоит в решении вопроса о том, действительно ли это так для

всех чётных (соответственно, нечётных) чисел.

Двадцать лет назад казалось, что наука не знает никакого пол-

хода к этой труднейшей задаче. После бесплодных попыток, про-

должавшихся более столетия, замечательный успех в направлении

решения проблемы Гольдбаха был достигнут в 1930 г. молодым

советским учёным Л. Г. Шнирельманом. Он впервые доказал суще-

ствование такого постоянного числа К, что всякое натуральное число,

кроме 1, может быть представлено в виде суммы не более чем К

простых слагаемых. До работы Шнирельмана к этому результату

столь же мало умели подойти, как и к самой проблеме Гольдбаха;

тем более замечательно, что всё исследование Шнирельмана прове-

дено настолько элементарными арифметическими методами, что могло

бы быть в точности в том же виде выполнено и 100 лет назад,

в эпоху Чебышева.

Постоянная К, оцениваемая непосредственно по исследованиям

Шнирельмана, оказывалась очень большою; многие учёные сейчас

же занялись попытками её снижения с помощью столь же элемен-

тарных приёмов, и в несколько лет удалось снизить её до 69.

Однако уже в 1936 г. И. М. Виноградов, работая созданным им

самим аналитическим методом, полностью доказал гипотезу Гольд-

баха для всех достаточно больших нечётных чисел, т. е. показал,

что любое достаточно большое нечётное число может быть пред-

ставлено в виде суммы т р (5 х простых слагаемых; из этого резуль-

тата непосредственно вытекает, что все достаточно большие чётные

числа представляются как суммы четырёх простых слагаемых; таким

образом, постоянная К [[1нирельмана сразу снижается до 4. Учиты-

вая историческую знаменитость проблемы Гольдбаха и огромное

количество потраченных на неё во всём мире усилий, следует при-

знать этот результат И. М. Виноградова одним из крупнейших

достижений советской математики.