МЕТОД СРАВНЕНИЙ

поэтому в силу теоремы 2

д _a-l—b+c+ +k-}-l (tnod3) и (mod 9),

275

т. е. по модулям З и 9 каждое число сравнимо с суммой своих

цифр. Но отсюда следует, что наибольший общий делитель с чис-

лом 3 (или 9) число п имеет тот же, что и сумма его цифр. В част-

ности, п делится на З (или 9) тогда и только тогда, если на это

число делится сумма его цифр. Подобным же образом сравнение

(mod 11)

10

в силу теоремы 2 даёт:

... —k*l (mod 11),

П — (— l)Sa -1- 1 )S-1b +

откуда непосредственно вытекает известный признак делимости на 11.

Теорема 1, устанавливающая ничем не ограниченную возмож-

ность почленного сложения, вычитания и умножения сравнений,

ничего не говорит нам о четвёртом арифме“тическом действии —

делении. В частности, мы не знаем ещё, всегда ли возможно деле-

ние обеих частей сравнения на одно и то же число (при условии,

конечно, что такое деление может быть выполнено без остатка).

Мы не случайно отложили рассмотрение этого вопроса; дело в том,

что здесь мы впервые встречаемся с таким положением, когда сра-

внения ведут себя несколько иначе, чем равенства; теперь мы должны

подробно разобраться в этом вопросе.

Прежде всего простые примеры легко показывают, что деление,

о котором идёт речь, не всегда возможно. Так,

45=27 (mod 6);

обе части сравнения делятся на 9; однако, выполняя это деление,

мы пришли бы к неверному сравнению

5 73:3 (mod 6).

Рассмотрим теперь вопрос в общем виде. Пусть

а (modm),

(2)

причём а и Ь делятся на одно и то же число d, так что

Спрашивается, при каких условиях сравнение (2) можно «сократить»

на d, т. е. при каких условиях из (2) следует:

а'2ЕЬ' (modm)?

Сравнение (2) означает, что разность (а' делится

на т; при каких условиях из этого будет следовать, что и разность

18$