АЛГОРИФМ ЕВКЛИДА И ЦЕПНЫЕ ПРОБИ

299

(которое может быть и отрицательным и нулём), в то время как ая,

— натуральные числа.

аз, ., апн

Мы видим, таким образом, что алгорифм Евклида получает для

нас новое и очень важное значение: он доказывает возможность

представления любой простой дроби в виде цепной дроби и вместе

с тем позволяет фактически получить это представление.

Элементарная арифметика учит нас представлять рациональные

числа в нескольких различных видах: в виде простых или обыкно-

венных дробей; в виде десятичных (и вообще систематических, т. е.

отнесённых к определённой системе счисления) дробей, конечных

или бесконечных периодических; наконец, в процентном исчислении.

Наряду с этими различными представлениями, каждое из которых

имеет свои преимущества, представление чисел в виде непрерывных

дробей также играет важнейшую роль как в развитии теории, так

и для „непосредственных практических приложений. Поэтому учение

о цепных дробях получило очеиь широкое-развитие, продолжающевся

и до настоящего времени.

В целях сокращения записи цепную дробь, стоящую в правой

части равенства (6), обычно символически записывают в виде

[щ; ав, аз, ап+11;

точка с запятой после имеет целью подчеркнуть роль как

«целой части» изображаемого данной цепной дробью числа. Числа 01,

., а п +1 называются элементами данной цепной дроби; иногда

их называют неПОЛНЫЯИ частными — название, напоминающее их

происхождение из алгорифма Евклида.

всего встаёт, разумеется, вопрос о еди н ст в е н но с ти

представления данного рационального числа цепною дробью. Могут

ли две различные цепные дроби изображать одно и то же число,

т. е. попросту быть равны друг другу? Что это, вообще говоря,

возможно, показывает уже тривиальный по своей простоте пример:

или в символической форме

Вообще, если 1, то

(апн —

а поэтому

[щ; ая, a,t+1]

1

апн